等谐数列,又名调和数列(英文:harmonic sequence 或 harmonic progression),是数列的一种。在等谐数列中,任何相邻两项倒数的差相等,该差值的倒数称为公谐差(common harmonic difference)。
例如数列:
- 1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 , 1/11 , 1/13 , ...
就是一个等谐数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公谐差都等于 1/2。
如果一个等谐数列的首项记作 a,公谐差记作 h,那么该等谐数列第 n 项 an 的一般项为:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aad64b340156ed41ba9fa0d4f883167044b19b)
换句话说,任意一个等谐数列 {an} 都可以写成
![{\displaystyle \{a\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\,,\,\cdots \,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0cf07f01562685e0132111b8873cf3d3d83161)
在一个等谐数列中,给定任意两相连项 an+1 和 an ,可知公谐差
![{\displaystyle h={\frac {1}{{\frac {1}{a_{n+1}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ff8699a4bf53c8a37bc93e8c02e3be8551f3b0)
给定任意两项 am 和 an ,则有公谐差
![{\displaystyle h={\frac {m-n}{{\frac {1}{a_{m}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56b47583b299443a100baac2bdaa8c43cf303b3)
此外,在一个等谐数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之倒数和,为原来该项倒数的两倍。举例来说,
。
更一般地说,有:
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {2}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee5f38830bb792fbb03f68c7a930f257dd95283)
证明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-2}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {2n-2}{h}}\\&=2\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a_{n}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78efdf3c0b31e609b30595ed71217957c2391ebc)
证毕。
从另一个角度看,等谐数列中的任意一项,是其前一项和后一项的调和平均:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c06ff2d6c46bf528f9dd42778b171e0e08f4ab2)
此结果从上面直接可得。
如果有正整数 m, n, p, q,使得
,那么则有:
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739f145cea1a9dec5d3726fc43b5f338e7957fdf)
证明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {m-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {m+n-2}{h}}\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {p+q-2}{h}}\\&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {p-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {q-1}{h}}\right)\\&={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd85ed6379892229bf97873e78e63a39b8612aac)
由此可将上面的性质一般化成:
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}={\frac {2}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f5d877fb1165e80ffc48bf8079e67ae0d466da)
![{\displaystyle a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08de049fb505fcd6c459b7643361255a97522428)
其中 k 是一个小于 n 的正整数。
给定一个等谐数列
,则有:
是一个等谐数列。
是一个等差数列。
一个等谐数列的首 n 项之和,称为等谐数列和(sum of harmonic sequence)或调和级数(harmonic series),记作 Sn。
举例来说,等谐数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315。
等谐数列并没有简单的求和公式。但使用以下反常积分,可对数列和以数值积分作估算:
![{\displaystyle S_{n}=a\int _{0}^{1}{\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a4d8ce56b280c84be5903dc0bfc88c64147d54)
公式证明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&=a+{\frac {a}{1+{\frac {a}{h}}}}+{\frac {a}{1+{\frac {2a}{h}}}}+\cdots +{\frac {a}{1+{\frac {(n-1)a}{h}}}}\\&=a\left(1+{\frac {1}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {1}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right)\\&=a\left[x+{\frac {x^{{\frac {a}{h}}+1}}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {x^{{\frac {2a}{h}}+1}}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {x^{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right]_{x=0}^{x=1}\\&=a\int _{0}^{1}\left(1+x^{\frac {a}{h}}+x^{\frac {2a}{h}}+\cdots +x^{\frac {(n-1)a}{h}}\right)\mathrm {d} x\\&=a\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2a12a83aeb2279dca644c7bb10d9352fdc71b1)
最后一步,使用了等比数列的求和公式。
使用上面的例子,对于数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} :
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {2}{3}}\cdot 4}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{\frac {8}{3}}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&\approx 0.7873\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c85ec67ac9b7d8ef2ab220c94f8ae1de74149c)
结果相等。
从这公式中容易看出,等谐级数是发散的。
一个等谐数列的首 n 项之积,称为等谐数列积(product of harmonic sequence),记作 Pn。
举例来说,等谐数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的积是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945。
等谐数列积的公式可以Γ函数表示:
![{\displaystyle P_{n}=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471862c668456a4fcb2414e21e8a766a697b257f)
证明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{h^{n}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}{\Gamma ({\frac {h}{a}})}}}}\\&=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31937b0a7a8e7a7a78f558e95564eae673f0a6fe)
这里使用了等差数列的求积公式。
使用上面的例子,对于数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} :
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+4)}}\\&={\frac {1}{16}}\cdot {\frac {0.88622\dots }{52.342\dots }}\\&={\frac {1}{945}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f08d1b6e4508b88e60c816a4087775ffc370342)
结果相等。