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等谐数列

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等谐数列,又名调和数列(英文:harmonic sequence 或 harmonic progression),是数列的一种。在等谐数列中,任何相邻两项倒数的差相等,该差值的倒数称为公谐差(common harmonic difference)。

例如数列:

1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 , 1/11 , 1/13 , ...

就是一个等谐数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公谐差都等于 1/2

性质

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如果一个等谐数列的首项记作 a,公谐差记作 h,那么该等谐数列第 nan 的一般项为:

换句话说,任意一个等谐数列 {an} 都可以写成


在一个等谐数列中,给定任意两相连项 an+1an ,可知公谐差

给定任意两项 aman ,则有公谐差


此外,在一个等谐数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之倒数和,为原来该项倒数的两倍。举例来说,

更一般地说,有:

证明如下:

证毕。


从另一个角度看,等谐数列中的任意一项,是其前一项和后一项的调和平均

此结果从上面直接可得。


如果有正整数 m, n, p, q,使得 ,那么则有:

证明如下:


由此可将上面的性质一般化成:

其中 k 是一个小于 n 的正整数。


给定一个等谐数列 ,则有:

  • 是一个等谐数列。
  • 是一个等差数列

等谐数列和

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一个等谐数列的首 n 项之和,称为等谐数列和(sum of harmonic sequence)或调和级数(harmonic series),记作 Sn

举例来说,等谐数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315


等谐数列并没有简单的求和公式。但使用以下反常积分,可对数列和以数值积分作估算:

公式证明如下:

最后一步,使用了等比数列的求和公式。


使用上面的例子,对于数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9}

结果相等。


从这公式中容易看出,等谐级数是发散的。

等谐数列积

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一个等谐数列的首 n 项之积,称为等谐数列积(product of harmonic sequence),记作 Pn

举例来说,等谐数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的积是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945


等谐数列积的公式可以Γ函数表示:

证明如下:

这里使用了等差数列的求积公式。


使用上面的例子,对于数列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9}

结果相等。

参见

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参考文献

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