线性代数
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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在线性代数中,馀因子是一种关于方阵之逆及其行列式的建构,馀因子矩阵的项是带适当符号的子行列式。
对一个 矩阵 ,在 的子行列式(余子式) 定义为删掉 的第 i 横行与第 j 纵列后得到的行列式。令 ,称为 在 的馀因子(代数余子式)。矩阵 称作 的馀因子矩阵(余子矩阵)。馀因子矩阵的转置称为伴随矩阵,记为 。
考虑三阶方阵
今将计算馀因子 。子行列式 是下述矩阵(在 中去掉第 2 横行与第 3 纵列)之行列式:
根据定义得到
对一 矩阵:
其行列式 可以用馀因子表示:
- (对第 j 纵行的馀因子分解)
- (对第 i 横列的馀因子分解)
“古典伴随矩阵”(classical adjoint matrix) 是馀因子矩阵的“转置矩阵”,它与逆矩阵的计算有极大的关系。
将馀因子矩阵
转置之后,会得到“古典伴随矩阵”:
克莱姆法则可以用馀因子写成下述简炼的形式:
当 时, 的逆矩阵由下式给出:
此即线性方程组理论中的克莱姆法则。
- Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8