不可數集

不可數集（英語：uncountable set）是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然數集之間要是不存在一個雙射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可數性與它的基數密切相關：如果一個集合的基數大於自然數的基數，那麼它就是不可數的。

定義

不可數集有許多等價的定義。一個集合$X$是不可數集，當且僅當以下任何一個條件成立：

• 不存在從$X$到自然數集合的單射函數。
• $X$的基數既不是有限的，又不等於$\aleph _{0}$（阿列夫-0，自然數集合的基數）。
• $X$的基數嚴格大於$\aleph _{0}$。

性質

• 如果不可數集$X$是集合$Y$的子集，則$Y$是不可數集。

例子

不可數集的最廣為人知的例子，是所有實數的集合$\mathbb {R}$；對角論證法證明了這個集合是不可數的。對角論證法也可以用來證明一些其它的集合是不可數的，例如所有自然數的無窮序列的集合（甚至是所有只由0和1所組成的無窮序列的集合），以及自然數集合的所有子集所組成的集合。$\mathbb {R}$的基數通常記為$c$、$2^{\aleph _{0}}$，或$\beth _{1}$。

康托爾集是$\mathbb {R}$的一個不可數子集。它是一個分形，其豪斯多夫維大於零，但小於一（$\mathbb {R}$的維數是一）。這是以下事實的一個例子：如果$\mathbb {R}$的某個子集有嚴格大於零的豪斯多夫維，那麼它一定是不可數的。

另外一個不可數集的例子，是所有從$\mathbb {R}$到$\mathbb {R}$的函數的集合。這個集合比$\mathbb {R}$更「不可數」，因為它的基數是$\beth _{2}$，它比$\beth _{1}$還要大。

一個更加抽象的例子，是所有可數序數的集合，記為$\Omega$或$\omega _{1}$。$\Omega$的基數記為$\aleph _{1}$。利用選擇公理，可以證明$\aleph _{1}$是最小的不可數基數。於是，實數的基數$\beth _{1}$，要麼等於$\aleph _{1}$，要麼嚴格比它大。康托爾是第一個提出$\beth _{1}$是否等於$\aleph _{1}$的問題的人。在1900年，希爾伯特把這個問題作為他的23個問題之一。$\aleph _{1}=\beth _{1}$的陳述現在稱為連續統假設，現已知道它獨立於集合論的ZF公理（包括選擇公理）。

參見

• 可數集
• 阿列夫數
• 自然數
• 單射函數

參考文獻

• Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

外部連結

• 證明R是不可數集 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）