歐姆定律

在電路學裡，歐姆定律（英語：Ohm's law）表明：定溫下，電導體兩端的電壓 $V$ 與通過電導體的電流 $I$ 成正比^[1]。數學表達式為：

V\propto I

因此，對於任意電導體（電路、電路元件、甚至電阻器），電阻 $R$ 可定義為此正比關係的比例常數^[1]：

R\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {V}{I}}

且可得到下列方程式：

V=IR

不論電流、電壓為何，電阻定義均為電壓除以電流。此外，任何電導體都有電阻，即使超導體在一般溫度下也具有微小的電阻。

然而並不是每一種元件都遵守歐姆定律，此定律是經過多次實驗而推斷的法則，只有在理想狀況下，才會成立。凡是遵守歐姆定律的元件或電路都稱為「歐姆元件」或「歐姆電路」或「歐姆式導體」，其電阻與電流、電壓的變動無關；不遵守歐姆定律的元件或電路稱為「非歐姆元件」或「非歐姆電路」或「非歐姆式導體」，其電阻可能會與電流、電壓的變動有關。

歐姆定律是因德國物理學家格奧爾格·歐姆命名。於1827年，在他發表的一本通論《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏^[2]，他詳細的論述簡單電路兩端的電壓與流動於電路的電流之間的關係。他所論述的關係比較複雜，稍後會有更詳細說明。上述方程式乃是歐姆定律的現代版本。

對於電阻物質或導電物質，歐姆定律可以推廣為：

\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}

\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}

其中， $\mathbf {E}$ 是電場， $\mathbf {J}$ 是物質的電流密度， $\rho$ 是物質的電阻率， $\sigma =1/\rho$ 是物質的電導率。

遵守歐姆定律的物質，稱為「歐姆物質」，其電阻率 $\rho$ 和電導率 $\sigma$ 與電流密度、電場無關^[1]。

歷史

早於1753年，意大利物理學家喬凡尼·貝卡立亞（英語：Giovanni Battista Beccaria）就在研究物質的導電性質。他在電路裏加裝了盛滿了水的玻璃管。當開啟電路後，發現玻璃管的截面面積越大，電流的放電強度越大^[3]。

英國物理學家亨利·卡文迪什也曾做過很多實驗，研究電動勢、電流、電阻之間的關係。他使用萊頓瓶為電流源，將電流通過在各種尺寸的玻璃試管裏盛裝的鹽溶液，靠著調整鹽溶液的高度，他可以控制放電強度。卡文迪什把自己身體當作一台生理檢流計，從親身體驗被電擊後的感覺，來估計電流的放電強度。他又選擇出一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準，然後比較標準放電與試樣放電，按照放電強度的大小來估計它們的電阻。這樣，他可以定量地描述每一種試樣。於1781年1月，他記錄在筆記裏，電流與電動勢成正比。但是，他並沒有將這些珍貴的實驗結果告訴任何科學家。一直到馬克士威於1879年替他編輯注釋為著作《卡文迪什的電學研究》（The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish）後，才見諸世面^[4]^[5]。注意到卡文迪什使用的儀器相當原始粗陋，靠身體感覺很難做出精準的測量，萊頓瓶並不是穩定電流源。所以，學術界認為這耽擱了近百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。

從1825年到1826年之間，歐姆做了很多關於電阻的實驗。於1827年，他將得到的結果一同發表在著作《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏^[6]。他從傅立葉對於熱傳導的研究得到了相當多的靈感，借用了很多傅立葉的點子來論述自己的結果。

歐姆是一位優秀的實驗者，很會設計與製造實驗設備，又具有精湛的數學修養與嚴謹的敬業態度。剛開始，他使用伏打電堆為電源，用安裝於扭秤（torsion balance）的磁針來測量電流的磁場力。載流導線的電流所產生的磁場與電流成正比，只要測量在載流導線附近的磁針所感受到的磁場力，就可以知道電流。他將電流通過不同長度的檢驗電線；由於長度不同，電阻也不同。歐姆仔細分析實驗結果，得到經驗方程式^[7] ^[8]

\Delta I=m\ln \left(1+{\frac {x}{a}}\right)

其中， $\Delta I$ 是檢驗電線造成的電流差值， $m$ 是跟實驗參數有關的係數， $x$ 是檢驗電線的長度， $a$ 是跟固定長度的載流導線有關的常數。

歐姆很快地就覺得這方程式不太對勁。大約三年前，湯瑪斯·澤貝克發明使用熱電偶為電源。這種電源比伏打電源穩定。採納《物理與化學年鑑》的總編輯約翰·波根多夫（Johann poggendorff）的建議，歐姆改用熱電偶為電源^[9]^[10]，將實驗重做一遍，得到經驗方程式：

X={\frac {a}{b+x}}

其中， $X$ 是扭秤讀值， $a$ 是跟電動勢有關的常數， $b$ 是跟內部電阻有關的常數， $x$ 是檢驗電線的長度。

仔細詮釋這些變量，將 $X$ 、 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 分別詮釋為電流 $I$ 、電壓 $V$ 、內部電阻 $r$ 、檢驗電阻 $R_{x}$ ，那麼，假定總電阻 $R$ 為 $r+R_{x}$ 則經驗方程式變為歐姆定律的現代方程式版本：

I={\frac {V}{R}}

歐姆定律可能是早期電學史最重要的定量理論。但是，當歐姆最初發表他的結果時，很多學術界同仁都激烈地批評反對他的理論。德國教育部長指責：「鼓吹這種異端邪說的教授不配教導科學^[11]。」物理教授格奧爾格·魄爾（Georg Pohl）這樣批評歐姆的著作：「以崇高眼光仰看這世界的人士，必須遠離這本無可救藥、妄生穿鑿的謬書，其唯一目的乃是徹底詆毀大自然的尊嚴^[7]。」。那時候，德國正盛行的黑格爾哲學認為，因為大自然井井有序，而且只要經過合理推論就可獲得科學真理，所以，並不需要靠做實驗來了解大自然。歐姆的實驗方法可能引起了黑格爾門徒的強烈反感。

1839年，法國物理學家，克勞德·普雷特（Claude Pouillet）確定歐姆的實驗結果。同時，歐姆成為柏林科學院的院士。在英國，查爾斯·惠斯通又重新核對了歐姆的實驗結果。1841年，歐姆被選為皇家學會的外籍會員。1852年，歐姆榮膺為慕尼黑大學的物理學系主任。

於1920年，物理學家發現，通過理想電阻器的電流會出現統計漲落，雖然當電壓和電阻為常數時，統計漲落會跟溫度有關。這種漲落稱為詹森-奈奎斯特噪音（Johnson–Nyquist noise），是因為電荷的離散秉性而產生的現像。這熱效應意味著，假若取樣的時間間隔足夠短暫，電流或電壓的測值，其比例跟時間平均比例或系綜平均（ensemble average）比例相比較，會出現漲落；也就是說，每一個電阻 $R$ 的取樣值，跟 $R$ 的時間平均或系綜平均相比較，會出現漲落。對於普通電阻物質案例，經過平均程序後，歐姆定律仍舊正確無誤。

歐姆對於電阻的研究在馬克士威方程組出現之前很久，那時科學家對於交流電路的頻率相關效應也不了解。但是，在適當範圍內，現代電磁理論與現代電路理論並沒有發現任何與歐姆定律相悖之處。

水力學類比

歐姆定律可以用水力學類比（hydraulic analogy）來描述。測量單位為帕斯卡的水壓，可以類比為電壓。在一根水管裏，由於任意兩點之間的水壓差會造成水流，水的流速（單位是公升每秒），可以類比為電流（單位是庫侖每秒）。「流量限制器」是安裝於水管與水管之間控制流量的閥門，可以類比為電阻器。通過流量限制器的水流流量，跟流量限制器兩端的水壓成正比，類似地，通過電阻器的電荷流量（電流），跟電阻器兩端的電壓成正比。這正是歐姆定律的論述。

流體流動網路的流量和流壓可以用水力學類比方法來計算^[12]^[13]。這方法可以應用於穩定流和暫態流（transient flow）。對於線性層流，泊肅葉定律（Poiseuille's law）描述水管的水阻，但是對於湍流，流壓-流量關係變為非線性。

熱力學類比

設定電導體的電導率與兩端的電壓，歐姆定律可以預測出通過這電導體的電流密度。類似地，設定熱導體的熱導率與兩端的溫差，約瑟夫·傅立葉的熱傳導定律可以預測通過這熱導體的熱流^[14]。同樣的方程式形式可以描述這兩種現象。對於每一種案例，方程式的變量有不同的意義。具體而言，歐姆定律的方程式為：

\mathbf {J} =-\sigma \nabla V

而熱傳導定律的方程式為：

{\boldsymbol {\Gamma }}=-k\nabla T

其中， ${\boldsymbol {\Gamma }}$ 是熱通量（heat flux）， $k$ 是導熱體的熱導率， $T$ 是溫度。

思考參數為溫度、熱導率與熱通量的熱傳導問體，和參數為電壓、電導率與電流密度的電傳導問體。這兩個問題相互等價。假若能夠解析一個熱傳導問體，則也能夠解析電傳導問題；反之亦然。

電路分析

在電路學裏，電阻器（歐姆電阻器）是一種電路元件，其電阻與電壓、電流無關。電阻器可以按照歐姆定律阻抗電荷的通過。每一個電阻器都有其設計製成的電阻 $R$ 。更嚴格地說，電阻器是在某操作域內遵守歐姆定律的電路元件；歐姆定律和唯一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。

串聯電阻電路

n

個電阻器串聯形成的電路。

串聯電阻的總電阻等於各個電阻之和，以方程式表示，

R_{\mathrm {total} }=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}

其中， $R_{n}$ 是第 $n$ 個電阻， $R_{\mathrm {total} }$ 是總電阻。

假設在電路兩端的電壓為 $V$ ，則通過的電流為 $I={V}/{R_{total}}$ 。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為 $R_{\mathrm {total} }$ 的歐姆電路。

並聯電阻電路

相互並聯的電阻，其總電阻的倒數等於其每個電阻的倒數和，以方程式表示：

{1 \over R_{\mathrm {total} }}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+\cdots +{1 \over R_{n}}

假設在電路兩端的電壓為 $V$ ，則通過的電流為 $I={V}/{R_{total}}$ 。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為 $R_{\mathrm {total} }$ 的歐姆電路。

週期性激發

電容器、電感器、傳輸線等等，都是電路的電抗元件。假設施加週期性電壓或週期性電流於含有電抗元件的電路，則電壓與電流之間的關係式變成微分方程式。因為歐姆定律的方程式只涉及實值的電阻，不涉及可能含有電容或電感的複值阻抗，所以，前面闡述的歐姆定律不能直接應用於這狀況。

最基本的週期性激發，像正弦激發或餘弦激發，都可以用指數函數來表達：

\sin {\omega t}={\frac {1}{2j}}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})

\cos {\omega t}={\frac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})

其中， $j$ 是虛數單位， $\omega$ 是實值角頻率， $t$ 是時間。

假設週期性激發為單頻率正弦激發，其角頻率為 $\omega$ 。電阻為 $R$ 的電阻器，其阻抗 ${Z}$ 為：

{Z}=R

電感為 $L$ 的電感器，其阻抗為：

{Z}=j\omega L

電容為 $C$ 的電容器，其阻抗為：

{Z}=1/j\omega C

電壓 ${V}$ 與電流 ${I}$ 的關係式為：

{V}={I}{Z}

注意到將阻抗 ${Z}$ 替代電阻 $R$ ，就可以得到這歐姆定律方程式的推廣。只有 ${Z}$ 的實值部分會造成熱能的耗散。

對於這系統，電流和電壓的複值波形式分別為：

{I}={I}_{0}e^{j\omega t}

{V}={V}_{0}e^{j\omega t}

電流和電壓的實值部分 $real({I})$ 、 $real({V})$ 分別描述這電路的真實正弦電流和正弦電壓。由於 ${I}_{0}$ 、 ${V}_{0}$ 都是不同的複值純量，電流和電壓的相位可能會不一樣。

週期性激發可以傅立葉分解為不同角頻率的正弦函數激發。對於每一個角頻率的正弦函數激發，可以使用上述方法來計算響應。然後，將所有響應總和起來，就可以得到解答。

線性近似

歐姆定律是電路分析（circuit analysis）使用的幾個基本方程式之一。它可以應用於金屬導電體或特別為這行為所製備的電阻器。在電機工程學裏，這些東西無所不在。遵守歐姆定律的物質或元件稱為「歐姆物質」或「歐姆元件」。理論上，不論施加的電壓或電流、不論是直流或交流、不論是正極或負極，它們的電阻都不變^[15]。

但是，有些電路元件不遵守歐姆定律，它們的電壓與電流之間的關係（V-I線）乃非線性關係。PN接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示，隨著二極體兩端電壓的遞增，電流並沒有線性遞增。給定外電壓，可以用V-I線來估計電流，而不能用歐姆定律來計算電流，因為電阻會因為電壓的不同而改變。另外，只有當外電壓為正值時，電流才會顯著地遞增；當施加的電壓為負值時，電流等於零。對於這類元件，V-I線的斜率 ${\mathfrak {r}}$ ，稱為「小信號電阻」（small-signal resistance）、「增量電阻」（incremental resistance）或「動態電阻」（dynamic resistance），定義為

{\mathfrak {r}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} I}}

單位也是歐姆，是很重要的電阻量，適用於計算非歐姆元件的電性^[16]。

溫度效應

詹姆斯·馬克士威詮釋歐姆定律為，處於某狀態的導電體，其電動勢與產生的電流成正比。因此，電動勢與電流的比例，即電阻，不會隨著電流而改變。在這裡，電動勢就是導電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文，修飾語「處於某狀態」，詮釋為處於常溫狀態，這是因為物質的電阻率通常跟溫度有關。根據焦耳定律，導電體的焦耳加熱（Joule heating）與電流有關，當傳導電流於導電體時，導電體的溫度會改變。電阻對於溫度的相關性，使得在典型實驗裏，電阻跟電流有關，從而很不容易直接核對這形式的歐姆定律。於1876年，馬克士威與同事，共同設計出幾種測試歐姆定律的實驗方法，能夠特別凸顯出導電體對於加熱效應的響應^[17]。

其它版本的歐姆定律

在電機工程學和電子工程學裏，歐姆定律妙用無窮，因為它能夠在宏觀層次表達電壓與電流之間的關係，即電路元件兩端的電壓與通過的電流之間的關係。在物理學裏，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為：

\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}

\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}

在導體內任意兩點g、h，定義電壓為將單位電荷從點g移動到點h，電場力所需做的機械功：^[18]

V_{gh}{\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} q}}=\int _{g}^{h}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }=\rho \int _{g}^{h}{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }

其中， $V_{gh}$ 是電壓， $w$ 是機械功， $q$ 是電荷量， $\mathrm {d} \mathbf {l}$ 是微小線元素。

假設，沿著積分路徑，電流密度 $\mathbf {J} =J{\hat {\mathbf {l} }}$ 為均勻電流密度，並且平行於微小線元素：

\mathrm {d} \mathbf {l} =\mathrm {d} l{\hat {\mathbf {l} }}

其中， ${\hat {\mathbf {l} }}$ 是積分路徑的單位向量。

那麼，可以得到電壓：

V_{gh}=J\rho l

其中， $l$ 是積分路徑的徑長。

假設導體具有均勻的電阻率，則通過導體的電流密度也是均勻的：

J=I/a

其中， $a$ 是導體的截面面積。

電壓 $V_{gh}$ 簡寫為 $V$ 。電壓與電流成正比：

V=V_{gh}=I\rho l/a

總結，電阻與電阻率的關係為：

R=\rho l/a

假設 $J>0$ ，則 $V>0$ ；將單位電荷從點g移動到點h，電場力需要作的機械功 $w>0$ 。所以，點g的電勢比點h的電勢高，從點g到點h的電勢差為 $-V$ 。從點g到點h，電壓降是 $V$ ；從點h到點g，電壓升是 $V$ 。

給予一個具有完美晶格的晶體，移動於這晶體的電子，其運動等價於移動於自由空間的具有有效質量（effective mass）的電子的運動。所以，假設熱運動足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現晶體缺陷（crystallographic defect），有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會發生散射。另外，假設溫度大於絕對溫度，則處於晶格點的原子會發生熱震動，會有熱震動的粒子，即聲子，移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為晶格散射（lattice scattering）。主要由於上述兩種散射，自由電子的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻^[19]。

凝聚態物理學研究物質的性質，特別是其電子結構。在凝聚態物理學裏，歐姆定律更複雜、更廣義的方程式非常重要，屬於本構方程式（constitutive equation）與運輸係數理論（theory of transport coefficients）的範圍。

經典微觀表述

當施加外電場於導電體時，電流密度的響應，基本上是屬於量子力學性質。詳盡細節，請參閱經典與量子電導率（classical and quantum conductivity）。保羅·德魯德於1900年研究出的德魯德模型，可以用經典物理解釋歐姆定律，描述自由電子移動於金屬導電體的物理行為^[20] ^[21]。

在德魯德模型裏，自由電子會不停地移動碰撞於固定不動、組成整個金屬導電體晶格的正價離子之間。金屬裏的每一個自由電子，感受到電場力的作用，會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放給離子，所以，電子的平均移動速度是漂移速度，其漂移速度的方向與電場方向相反。

電子感受到的平均電場力 $\mathbf {F} _{ave}$ 為：

\mathbf {F} _{ave}=-e\mathbf {E} _{ave}

其中， $\mathbf {E} _{ave}$ 是平均電場， $e$ 是單位電荷量。

德魯德計算出漂移速度 $\mathbf {v} _{d}$ 為：

\mathbf {v} _{d}=-e\mathbf {E} _{ave}\tau /m

其中， $\tau$ 是平均自由時間（mean free time），是碰撞之間的平均時間間隔， $m$ 是電子的質量。

在金屬裏，電荷載子為電子，所以電流密度與漂移速度的關係為：

\mathbf {J} =-ne\mathbf {v} _{d}=ne^{2}\tau \mathbf {E} _{ave}/m

其中， $n$ 是電子密度。

假設電場是均勻電場， $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{ave}$ ，設定電阻率為：

\rho ={\frac {m}{ne^{2}\tau }}

則電場與電流密度的關係為：

\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}

注意到漂移速率 $v_{d}$ 超小於熱速率 $v_{t}$ ，

{\frac {1}{2}}mv_{t}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}T

其中， $k_{B}$ 是波茲曼常數， $T$ 是溫度。

因此，平均自由時間與熱速率有關，與漂移速率無關，所以平均自由時間也與電流密度、電場無關。質量、電子密度、單位電荷，都與電流密度、電場無關。總結，電阻率與電流密度、電場無關。

磁效應

前面得到的答案只成立於導電體的參考系。在經典電磁學裏，假設處於磁場 $\mathbf {B}$ 的導電體，以相對速度 $\mathbf {v} _{0}$ 移動於磁場的參考系 ${\mathcal {S}}$ ，則電子感受到的平均勞侖茲力 $\mathbf {F} _{ave}$ 為：

\mathbf {F} _{ave}=-e(\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})

漂移速度 $\mathbf {v} _{d}$ 為：

\mathbf {v} _{d}=-e(\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})\tau /m

電場與電流密度的關係為：

\mathbf {J} =-ne\mathbf {v} _{d}=ne^{2}\tau (\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})/m

所以，歐姆定律的形式推廣為：

\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {J}

常見錯誤

不少人會認為歐姆定律是在說明

V=iR

實際上，上式只是電阻的定義，而歐姆定律所主張的是任何物件都會滿足

V\propto i

是一個錯誤的主張。（僅對部分歐姆式導體正確）^[22]

參閱

薄膜電阻
菲克擴散定律
霍普金森定律（Hopkinson's law，靜磁學的歐姆定律）

參考文獻

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[15] Hughes, E, Electrical Technology, pp10, Longmans, 1969.

[horowitz-hill-16] Horowitz, Paul; Winfield Hill. The Art of Electronics 2nd. Cambridge University Press. 1989: 13. ISBN 0-521-37095-7.

[17] Normal Lockyer (編). Reports. Nature (Macmillan Journals Ltd). September 21, 1876, 14: 452.

[18] Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill: pp. 9–10, 2006, ISBN 9780073301150

[19] Seymour J, Physical Electronics, pp 48–49, Pitman, 1972

[20] Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der metalle. Annalen der Physik. 1900, 306 (3): 566. doi:10.1002/andp.19003060312. ^{[永久失效連結]}

[21] Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte. Annalen der Physik. 1900, 308 (11): 369. doi:10.1002/andp.19003081102. ^{[永久失效連結]}

[22] Principles of Physics 11th Edition, by David Halliday, Robert Resnic, Jearl Walker, page 26-13

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閱論編電磁學
靜電學	電電荷電場摩擦起電效應靜電放電閃電電暈放電尖端放電靜電感應靜電吸附靜電屏蔽庫侖定律高斯定律電通量電勢能電偶極矩電極化電位移
靜磁學	磁安培定律磁場磁感應強度磁場強度磁化強度磁通量畢奧-薩伐爾定律磁矩高斯磁定律磁矢勢
電學	電路電流電勢電壓電阻絕緣體半導體導體超導體歐姆定律串聯電路並聯電路直流電交流電帶電流電動勢電容電感阻抗電導波導憶阻器基爾霍夫電路定律
電現象	壓電效應壓阻效應熱電效應光電效應電致發光中高層大氣放電
電動力學	洛倫茲力霍爾效應電磁干擾法拉第電磁感應定律楞次定律位移電流馬克士威方程組電磁場電磁波馬克士威應力張量坡印廷向量黎納-維謝勢傑斐緬柯方程式渦電流倫敦方程推遲勢自由空間協變表述電磁張量四維電流密度電磁應力-能量張量四維勢
發展史	電荷守恆定律庫侖定律伏打電堆伽伐尼電池安培定律歐姆定律電磁感應馬克士威方程組基爾霍夫電路定律戴維南定理電磁波電子自旋