正軸形
在幾何學中,正軸形,或稱交叉形[1]、正交形[2]、超正八面體、餘方形,是一個正的、凸的、存在於任意維度的多胞形。正軸形的頂點坐標都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列,正軸形是這些頂點的凸包。它的(n-1)維表面是(n-1)維的正單純形,而正軸形的頂點圖是前一維的另一正軸形。
n維正軸形也可以用在Rn中ℓ1-賦范下的單位球(或者,對於某些學者,單位球面)來定義;
在一維,正軸形就是線段 [−1, +1],在二維它是正方形(或叫做正菱形),有頂點{(±1, 0), (0, ±1)。在三維它是正八面體—五個正多面體,即柏拉圖立體之一。更高維的正軸形總結如下:
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二維 正方形 |
三維 正八面體 |
四維 正十六胞體 |
正軸形是超方形的對偶多胞形。n維正軸形的一階骨架是Turán圖T(2n,n)。
四維
[編輯]四維正軸形也被叫做正十六胞體。它是6個四維凸正多胞體之一。這些多胞體最先被瑞士數學家路德維希·施萊夫利在19世紀中期描述過。
更高維
[編輯]正軸形家族是三個延伸至正無窮維的正多胞形家族之一,考克斯特將其標記為βn,另外兩個是超方形家族,記為γn,以及單純形家族,記為αn第四個非凸多胞形的家族,超方形密鋪家族,他將其標記為δn。
n維正軸形有2n個頂點,及2n個全都是(n−1)-單純體的維面(n−1 維組成元素)。它的頂點圖 都是n − 1維的正軸形。正軸形的施萊夫利符號是{3,3,…,3,4}。n-維正軸形的二面角是
- .
n-維正軸形的k-維組成元素(頂點、棱、面、…、維面)的個數由以下公式給出(見二項式係數):
n-維正軸形的超體積為:
這裡有許多能夠以二維圖像展示正軸形的正交投影,皮特里多邊形投影是常用的一種投影,將其頂點,投影到一個2n邊形或更低階的正多邊形上。第二次的投影再投影於更低維中的2(n-1)邊皮特里多邊形,例如雙角錐,我們可將其沿主軸投影,兩個頂點被投影到了投影的中心。
n | βn k11 |
名稱 圖像 |
圖像 2n邊形 |
圖像 2(n-1)邊形 |
施萊夫利 符號 |
考克斯特- 迪肯符號 |
頂點 | 棱 | 面 | 胞 | 4-表面 | 5-表面 | 6-表面 | 7-表面 | 8-表面 | 9-表面 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | β1 | 線段 1-正軸體 |
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{} | ![]() ![]() |
2 | |||||||||||
2 | β2 −111 |
正方形 2-正軸體 二維正軸體 |
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{4} {}+{} |
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4 | 4 | |||||||||
3 | β3 011 |
正八面體 3-正軸體 三維正軸體 |
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{3,4} {30,1,1} {}+{}+{} |
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6 | 12 | 8 | ||||||||
4 | β4 111 |
正十六胞體 4-正軸體 四維正軸體 |
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{3,3,4} {31,1,1} 4{} |
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8 | 24 | 32 | 16 | |||||||
5 | β5 211 |
5-正軸體 五維正軸體 |
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{33,4} {32,1,1} 5{} |
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10 | 40 | 80 | 80 | 32 | ||||||
6 | β6 311 |
6-正軸體 六維正軸體 |
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{34,4} {33,1,1} 6{} |
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12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | |||||
7 | β7 411 |
7-正軸體 七維正軸體 |
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{35,4} {34,1,1} 7{} |
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14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | ||||
8 | β8 511 |
8-正軸體 八維正軸體 |
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{36,4} {35,1,1} 8{} |
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16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | |||
9 | β9 611 |
9-正軸體 九維正軸體 |
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{37,4} {36,1,1} 9{} |
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18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | ||
10 | β10 711 |
10-正軸體 十維正軸體 |
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{38,4} {37,1,1} 10{} |
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20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | |
... | |||||||||||||||||
n | βn k11 |
n-正軸體 n維正軸體 |
{3n − 2,4} {3n − 3,1,1} n{} |
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2n 0-表面, ... k-表面 ..., 2n (n-1)-表面 |
等軸正軸形的頂點在曼哈頓距離下,任意兩點之間的距離都是相等的(L1賦規)。庫斯納猜想即是說這個由2d 個點組成的集合是在這距離下最大的等距集。[3]
另見
[編輯]注釋
[編輯]參考
[編輯]- Coxeter, H. S. M. 正多胞形 第3版. 紐約: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, 表 I (iii): Regular polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)
外部連結
[編輯]- 埃里克·韋斯坦因. Cross polytope. MathWorld.
- Polytope Viewer[失效連結] (點擊<polytopes...>來選擇正軸形。)
- Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.
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