單項式

數學上的單項式（英語：Monomial）是指只有一項的多項式。如 $x^{2}$ 、 $x$ 都是單項式。

單項式有兩種不同的定義：

單項式，也稱為冪乘積，是各變數自然數冪次的乘積，也可以說是變數之間的乘積，變數可能會重複出現，例如 $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ 即為單項式。常數 $1$ 也是單項式，等於空積，也等於 $x^{0}$ ， $x$ 可以對應任意變數。若只考慮單變數 $x$ ，則其單項式可能是 $1$ 或是 $x$ 的冪次 $x^{n}$ ，其中 $n$ 為正整數。若考慮多個變數，如 $x,y,z,$ ，每一個變數都可能有其冪次，因此單項式會是 $x^{a}y^{b}z^{c}$ ，其中 $a,b,c$ 是非負整數^{[註 1]}。
單項式也可以是上述定義的單項式，乘以一個非零的常數，稱為單項式的系數。第一種定義下的單項式是這種定義當中，系數為 $1$ 的特例。例如 $-7x^{5}$ 和 $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ 都是單項式（第二例中，變數是 $x,y,z,$ ，且其系數是複數）。

若在討論洛朗多項式（英語：Laurent polynomial）和洛朗級數時，單項式的冪次可以是負數，若在討論皮瑟級數（英語：Puiseux series）時，冪次可以是有理數。

二種定義的比較

在上述兩種定義中，單項式都是多項式中的子集，且具有乘法封閉性。

在文獻中這兩種定義都有出現，在許多應用中可以忽略這兩種定義之間的差異，這裏有些第一個定義^[1]，以及第二個定義的例子^[2]。在非正式的討論中不太需要區分其差異。一般是傾向使用範圍較廣的第二個定義。不過在研究多項式結構時，一般會需要用到第一個定義。例如在考慮多項式環的單項基函數（英語：monomial basis），或是此一基底的単項式順序（英語：monomial order）。

以下的「單項式」會以上述的第一個定義為準。

單項基函數

所有的多項式都是單項式的線性組合，因此形成多項式向量空間的基，稱為單項基函數（monomial basis）。

標示

在偏微分方程中常需要標示單項式。若用的變數是像 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , ...之類用下標區隔的變數，則可以用多重指標表示，例如

\alpha =(a,b,c)

可以定義

x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}

以簡化標示。

註釋

^ 其中若指數為 $0$ ，對應的冪次乘積會等於1

參考資料

^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.
^ Hazewinkel, Michiel (編), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 其中若指數為 $0$ ，對應的冪次乘積會等於1

[2] Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] Hazewinkel, Michiel (編), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[註 1]

[1]

[2]

閱論編多項式
函數	零次函數(常數函數) 一次函數二次函數三次函數四次函數五次函數
方程	一次方程二次方程三次方程四次方程五次方程六次方程七次方程八次方程
算法	多項式除法因式不可約多項式最大公因式（英語：Polynomial greatest common divisor）秦九韶算法結式判別式

二種定義的比較

單項基函數

標示

註釋

相關條目

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