有限秩算子

泛函分析中，有限秩算子（英語：Finite-rank operator）是巴拿赫空間之間，像的維數有限的有界線性算子。

希爾伯特空間中

典範型

有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知，複矩陣$M\in \mathbb {C} ^{n\times m}$之秩為1，當且僅當$M$可以寫成：

$M=\alpha \cdot uv^{*}$ 其中 $\|u\|=\|v\|=1$ 且 $\alpha \geq 0$

同樣可證希氏空間$H$上，算子$T$之秩為1，當且僅當

$Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad \forall h\in H,$

其中$\alpha ,u,v$與有限維情況滿足同等條件。由此，用數學歸納法，可證秩$n$的算子$T$必可寫成

$Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad \forall h\in H,$

其中$\{u_{i}:i=1,2,\ldots ,n\}$和$\{v_{i}:i=1,2,\ldots ,n}\$皆為標準正交基。前述表示法實質等同於奇異值分解，可以稱為有限秩算子的「典範型」（canonical form）。

略加推廣，若$n$改為可數無窮，而正實數列$\{\alpha _{i}\}$僅會聚於0，則$T$為緊算子，相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數$\sum _{i}\alpha _{i}$（跡）收斂，則$T$是跡類算子。

代數性質

希氏空間$H$上，全體有限秩算子之族$F(H)$是有界算子代數$L(H)$的雙邊*理想。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即$L(H)$的任何雙邊*理想$I$必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子$T\in I$，則有非零的$f,g$使$Tf=g$。衹需證對任意$h,k\in H$，將$h$映至$k$的秩1算子$S_{h,k}$屬於$I$。同樣定義$S_{h,f}$和$S_{g,k}$，則有

$S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,$

從而$S_{h,k}$在$I$中，證畢。

$L(H)$的雙邊*理想舉例有跡類、希爾伯特-施密特算子類、緊算子類。三類各自配備範數，而$F(H)$在此三個賦範空間中稠密。

由於$L(H)$的每個雙邊理想都包含$F(H)$，$L(H)$為單代數當且僅當有限維。

巴拿赫空間中

巴拿赫空間$U,V$之間的有限秩算子$T:U\to V$是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣，可以寫成

$Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad \forall h\in U,$

其中$v_{i}\in V$，但由於$U$中沒有定義內積，$u_{i}\in U'$換成$U$上的有界線性泛函。

有界線性泛函是有限秩算子的特例，其秩為1。