繼承有限集合

$~V_{4}~$

在數學中，繼承有限集合被遞歸的定義為只包含繼承有限集合（空集作為基礎情況）的有限集合。非形式的說，繼承有限集合是其成員也是有限集合，成員的成員也是有限集合以此類推，的有限集合。

它們可以通過如下規則構造：

空集是繼承有限集合。

如果$a_{1},\ldots ,a_{k}$是繼承有限集合，則$\{a_{1},\ldots ,a_{k}\}$也是。

所有繼承有限集合的集合被指示為$V_{\omega }$。如果我們指示$P(S)$為$S$的冪集，則 $V_{\omega }$還可以構造如下：首先把空集寫為$V_{0}$，接着$V_{1}=P(V_{0})$, $V_{2}=P(V_{1})$, $\ldots$, $V_{k}=P(V_{k}-1)$接着

$\bigcup _{k=0}^{\infty }V_{k}=V_{\omega }$。

繼承有限集合是馮·諾伊曼全集的子類。它是把集合論公理中的無窮公理替代為它的否定公理得到公理體系的模型，因此證明了無窮公理不是其他集合論公理的推論。

注意有可數多個繼承有限集合，因為$V_{n}$對於任何有限的$n$都是有限的（它的基數是$^{n-1}2$，參見 tetration），而可數多個有限集合的併集是可數的。

等價的說，一個集合是繼承有限的，當且僅當它的遞移閉包是有限的。V_ω也被符號化為$H_{\aleph _{0}}$，意味着小於$\aleph _{0}$的基數的繼承。參見繼承可數集合。

參見

• 有限主義