决定公理

在数学上，决定公理（Axiom of determinacy，常记做AD）是一个在1962年由​​扬·米切尔斯基和​​雨果·斯坦豪斯所提出的可能的集合论公理，这公理探讨的是特定类型且长度为ω的二人​拓朴游戏，而决定公理声称，任何这类的游戏都是决定的，也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。

他们发展出决定公理的动机是这公理的有趣结果，他们并指出这公理可在集合论的最小自然模型​​L(R)中成立，这模型只接受较弱版本的选择公理，但包括了所有的实数和序数。决定公理的一些结果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、斯坦尼斯瓦夫·马祖尔以及莫顿·戴维斯（Morton Davis）等人证明的定理得出；而米切尔斯基与斯坦豪斯两氏则证明了另一个结果，那就是在决定公理下，所有实数的集合都是勒贝格可测的。之后Donald A. Martin等人证明了更多重要的结果，尤其在描述集合论方面更是如此。在1988年，约翰·斯蒂尔与​乌丁总结了一长串的研究，并证明说在类似$\aleph _{0}$的不可数基数存在的状况下，米切尔斯基与斯坦豪斯两氏原先的猜想，也就是“决定公理在集合论的最小自然模型​​L(R)中成立”这点是对的。

具决定性的游戏

决定公理所谈论的游戏具有特定的定义，而其定义如次：

考虑所有自然数的无限序列组成的贝尔空间$\omega ^{\omega }$的子集合$A$，而其中两个玩家1p与2p轮流选取自然数

$n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},...$

在经过无限步后，可得一序列$(n_{i})_{i\in \omega }$，其中玩家1p获胜当且仅当这序列是$A$的元素。而决定公理讲的是任何这类的游戏都是决定的，也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。

不是所有的游戏的决定性，都需要动用决定公理来证明。在$A$是一个闭开集的情况下，那这游戏基本是有限的，也因此是决定的；相似地，若$A$是一个闭集，那这游戏是决定的。在1975年，唐纳德·A·马丁证明说若一个游戏必胜策略是一个博雷尔集的话，那这游戏是决定的；此外，在有足够大的基数存在的状况下，所有必胜策略是射影集的游戏都是决定的，而决定公理在​​L(R)中成立。

另外，决定公理蕴含说对于任何实数线的子空间$X$而言，巴拿赫－马祖尔游戏$BM(X)$是决定的（也因此所有的实数集合都具有贝尔性质）。

决定公理与选择公理的不相容性

在假定选择公理成立的状况下，我们可以构造决定公理的一个反例。集合$S_{1}$是$\omega$－游戏$G$中玩家一的所有策略，其大小与连续统相同；而类似地，$S_{2}$是同样游戏中玩家二的所有策略。设$SG$为$G$中所有可能序列的集合，并假定$A$是$SG$中使玩家一获胜的子序列，那么利用选择公理我们可以为连续统构造一个良序，且我们可以构造出一个任何真初始部分都小于连续统的排序，而我们可利用这样的良序集$J$来给$S_{1}$跟$S_{2}$上指标，并借此将$A$给构造成决定公理的一个反例。

我们从空集合$A$与$B$开始。设$\alpha \in J$是集合$S_{1}$跟$S_{2}$的指标，我们考虑玩家一的所有策略$S_{1}={s1(\alpha )}$及玩家二的所有策略$S_{2}={s2(\alpha )}$以确保对于任何策略，都会有另一个玩家的策略能将之胜过。对于任何玩家考虑的策略，我们都可生成一个序列，使得另一个玩家获胜。设$t$是时间轴，其长度为$\aleph _{0}$且这时间轴用于所有的游戏序列中，我们可以利用$A$上对$\alpha$的超限递归来生成反例：

1. 首先，考虑玩家一的策略$s1(\alpha )$。
2. 将这策略套用于$\omega$－游戏上，（连同玩家一的策略$s1(\alpha )$一起）可生成$\{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}$这序列，而这序列不属于$A$，这是可能的，而这可能性是因为$\{b(2),b(4),b(6)...\}$这些选项的数量与连续统相同，而这数量比$J$的真初始部分$\{\beta \in J|\beta <J\}$还要大所致。
3. 现在（若这序列还不在$B$之内的话）将这序列加入$B$之中以表示$s1(\alpha )$失败。（输给$\{b(2),b(4),b(6)...\}$）
4. 现在，考虑玩家二的策略$s2(\alpha )$。
5. 将这策略套用于$\omega$－游戏上，（连同玩家二的策略$s2(\alpha )$一起）可生成$\{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}$这序列，而这序列不属于$B$，这是可能的，而这可能性是因为$\{a(1),a(3),a(5)...\}$这些选项的数量与连续统相同，而这数量比$J$的真初始部分$\{\beta \in J|\beta <J\}$还要大所致。
6. 现在（若这序列还不在$A$之内的话）将这序列加入$A$之中以表示$s2(\alpha )$失败。（输给$\{a(1),a(3),a(5)...\}$）
7. 利用对$\alpha$的超限归纳法，对$S_{1}$跟$S_{2}$的所有可能策略如是操作，对于所有在这之后不在$A$或$B$中的策略，将之任意分派给$A$或$B$，使得$B$为$A$的补集。

当这一切完成后，准备$\omega$－游戏$G$，而在这游戏中，对于任何玩家一的策略$s1$，存在一个$\alpha \in J$使得$s1=s1(\alpha )$，而$A$的构造方式保证$s1(\alpha )$失败（输给$\{b(2),b(4),b(6)...\}$），因此$s1$失败；类似地，任何玩家的任何其他策略都会失败，因此决定公理与选择公理不相容。

无穷逻辑与决定公理

在二十世纪晚期，人们提出多种不同的无穷逻辑，其中一个认为决定公理为真的理由是因为这公理可（在某种无穷逻辑当中）写成以下形式：

$\forall G\subseteq Seq(S):$

$\forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G$ OR

$\exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G$

注：$Seq(S)$是$S$的所有$\omega$－序列。此处的句子长度无限，且在省略号出现处，有可数无穷多的量化词序列。

大基数与决定公理

决定公理的相容性，与大基数相关公理的相容性息息相关。根据​乌丁的一个定理，不带有选择公理而带有决定公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性，等价于带有选择公理并带有​乌丁基数的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性。由于​乌丁基数是强不可达基数之故，因此若决定公理是相容的，那不可达基数的无限性也是相容的。

此外，若假设有无穷多个乌丁基数，且其上还存在一个可测基数，大于该些乌丁基数，则可得到一个非常强的、关于勒贝格可测的实数集合的理论，而这是因为可以证明决定公理在​​L(R)中成立，因此所有在​​L(R)中的实数集合都是决定的之故。

参见

• ​实决定公理 (AD_R)
• ​博雷尔决定性定理
• ​马丁测度
• ​拓朴游戏

参考资料

• Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 1962, 10: 1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430. 
• Mycielski, Jan; Świerczkowski, Stanisław. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math. 1964, 54: 67–71. doi:10.4064/fm-54-1-67-71 . 
• Woodin, W. Hugh. Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1988, 85 (18): 6587–6591. PMC 282022 . PMID 16593979. doi:10.1073/pnas.85.18.6587 . 
• Martin, Donald A.; Steel, John R. A Proof of Projective Determinacy. Journal of the American Mathematical Society. Jan 1989, 2 (1): 71–125. JSTOR 1990913. doi:10.2307/1990913 . 
• Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7. 
• Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite 2nd. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-3-540-88866-6. 
• Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory (PDF) 2nd. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2009. ISBN 978-0-8218-4813-5. （原始内容 (PDF)存档于2014-11-12）. 

延伸阅读

• Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001
• Telgársky, R.J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)
• "Large Cardinals and Determinacy" （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Stanford Encyclopedia of Philosophy