全機率定理(Law of total probability),假設{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一個機率空間的有限或者可數無限的分割(既 Bn為一完備事件組),且每個集合Bn是一個可測集合,則對任意事件A有全機率公式:
![{\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f629ea8dda22bcc5fa6afe2d066ad753e215f2b)
又因為
![{\displaystyle \Pr(A\cap B_{n})=\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fb0818b6b66cd5fe47f9e31b97421c22d7d91f)
此處Pr(A | B)是B發生後A的條件機率,所以全機率公式又可寫作:
![{\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7929b8e24c4af9920cf0c17f5793df768d03562)
全機率公式將對一複雜事件A的機率求解問題轉化為了在不同情況或不同原因 Bn下發生的簡單事件的機率的求和問題。
在離散情況下,上述公式等於下面這個公式。但後者在連續情況下仍然成立:
![{\displaystyle \Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1987be6e758855e8337db8c020f36c351a3fdb04)
此處N是任意隨機變數。
這個公式還可以表達為:
- "A的事前機率等於A的事後機率的事前期望值。