高斯过程：修订间差异

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在[[概率论]]和[[统计学]]中，'''高斯过程'''（{{lang-en|'''Gaussian process'''}}）是[[随机变量|观测值]]出现在一个连续域（例如时间或空间）的统计模型。在高斯过程中，连续输入空间中每个点都是与一个[[正态分布]]的[[随机变量]]相关联。此外，这些随机变量的每个有限集合都有一个[[多元正态分布]]。高斯过程的分布是所有那些（有限多个）随机变量的联合分布，正因如此，它是连续域（例如时间或空间）的分布。
在[[概率论]]和[[统计学]]中，'''高斯过程'''（{{lang-en|'''Gaussian process'''}}）是[[随机变量|观测值]]出现在一个连续域（例如时间或空间）的统计模型。在高斯过程中，连续输入空间中每个点都是与一个[[正态分布]]的[[随机变量]]相关联。此外，这些随机变量的每个有限集合都有一个[[多元正态分布]]。高斯过程的分布是所有那些（無限多个）随机变量的联合分布，正因如此，它是连续域（例如时间或空间）的分布。

高斯過程被認為是一種{{le|機器學習|machine learning|機器學習}}算法，是以{{le|惰性學習|lazy learning|惰性學習}}方式，利用點與點之間同質性的度量作為{{le|核函數|Kernel function|核函數}}，以從輸入的訓練數據預測未知點的值。其預測結果不僅包含該點的值，而同時包含不確定性的資料－它的一維高斯分佈（即該點的{{le|邊際分佈|marginal distribution|邊際分佈}}）。<ref>{{cite web|url=http://platypusinnovation.blogspot.co.uk/2016/05/a-simple-intro-to-gaussian-processes.html|title=Platypus Innovation: A Simple Intro to Gaussian Processes (a great data modelling tool)|publisher=}}</ref>

對於某些核函數，可以使用矩陣代數（見{{le|克里金插值法|kriging|克里金法}}條目）來計算預測值。若核函數有代數參數，則通常使用軟體以擬合高斯過程的模型。

由於高斯過程是基於高斯分佈（[[正態分佈]]）的概念，故其以[[卡爾·弗里德里希·高斯]]為名。可以把高斯過程看成多元正態分佈的無限維廣義延伸。

高斯過程常用於[[概率模型|統計建模]]中，而使用高斯過程的模型可以得到高斯過程的屬性。例如，一隨機過程以高斯過程建模，則各種導出量（包括隨機過程在一定範圍次數內的平均值，及使用小範圍採樣次數及採樣值進行平均值預測的誤差）的分佈即能輕易得出。

==定義==
'''高斯過程'''為一[[概率分布|統計學分佈]]，可定義為''X''<sub>''t''</sub>, ''t'' ∈ ''T''，其任一有限的[[抽樣|取樣值]]的[[線性組合]]均有共同的[[多元正態分佈]]。更準確地，取樣函數''X''<sub>''t''</sub> 的任一線性[[泛函]]均會得出[[正態分佈]]。可以寫成''X'' ~ GP(''m'',''K'')，即{{le|隨機函數|random function|隨機函數}}''X'' 以高斯過程（GP）方式分佈，且其平均數函數為''m'' 及其[[協方差函數]]為''K''。<ref>{{Cite book | last1 = Rasmussen | first1 = C. E. | chapter = Gaussian Processes in Machine Learning | doi = 10.1007/978-3-540-28650-9_4 | title = Advanced Lectures on Machine Learning | series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 3176 | pages = 63–71 | year = 2004 | isbn = 978-3-540-23122-6 | pmid = | pmc = }}</ref>當輸入向量''t''為二維或多維時，高斯過程亦可能被稱為{{le|高斯場|Gaussian random field|高斯場}}。<ref name="prml">{{cite book |last=Bishop |first=C.M. |title= Pattern Recognition and Machine Learning |year=2006 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=0-387-31073-8}}</ref>

有些人<ref>{{cite book |last=Simon |first=Barry |title=Functional Integration and Quantum Physics |year=1979 |publisher=Academic Press}}</ref> 假設[[隨機變量]] ''X''<sub>''t''</sub> 平均為0；其可以在[[不失一般性]]的前提下簡化運算，且高斯過程的均方屬性可完全由[[協方差函數]]''K''得出。<ref name="seegerGPML">{{cite journal |last1= Seeger| first1= Matthias |year= 2004 |title= Gaussian Processes for Machine Learning|journal= International Journal of Neural Systems|volume= 14|issue= 2|pages= 69–104 |doi=10.1142/s0129065704001899}}</ref>


==註譯==
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{{math-stub}}
{{Stochastic processes}}
{{Stochastic processes}}


2016年11月2日 (三) 08:21的版本

在概率论和统计学中，高斯过程（英語：Gaussian process）是观测值出现在一个连续域（例如时间或空间）的统计模型。在高斯过程中，连续输入空间中每个点都是与一个正态分布的随机变量相关联。此外，这些随机变量的每个有限集合都有一个多元正态分布。高斯过程的分布是所有那些（無限多个）随机变量的联合分布，正因如此，它是连续域（例如时间或空间）的分布。

高斯過程被認為是一種機器學習（英语：machine learning）算法，是以惰性學習（英语：lazy learning）方式，利用點與點之間同質性的度量作為核函數（英语：Kernel function），以從輸入的訓練數據預測未知點的值。其預測結果不僅包含該點的值，而同時包含不確定性的資料－它的一維高斯分佈（即該點的邊際分佈（英语：marginal distribution））。[1]

對於某些核函數，可以使用矩陣代數（見克里金法（英语：kriging）條目）來計算預測值。若核函數有代數參數，則通常使用軟體以擬合高斯過程的模型。

由於高斯過程是基於高斯分佈（正態分佈）的概念，故其以卡爾·弗里德里希·高斯為名。可以把高斯過程看成多元正態分佈的無限維廣義延伸。

高斯過程常用於統計建模中，而使用高斯過程的模型可以得到高斯過程的屬性。例如，一隨機過程以高斯過程建模，則各種導出量（包括隨機過程在一定範圍次數內的平均值，及使用小範圍採樣次數及採樣值進行平均值預測的誤差）的分佈即能輕易得出。

定義

高斯過程為一統計學分佈，可定義為Xt, t ∈ T，其任一有限的取樣值的線性組合均有共同的多元正態分佈。更準確地，取樣函數Xt 的任一線性泛函均會得出正態分佈。可以寫成X ~ GP(m,K)，即隨機函數X 以高斯過程（GP）方式分佈，且其平均數函數為m 及其協方差函數為K。[2]當輸入向量t為二維或多維時，高斯過程亦可能被稱為高斯場（英语：Gaussian random field）。[3]

有些人[4] 假設隨機變量 Xt 平均為0；其可以在不失一般性的前提下簡化運算，且高斯過程的均方屬性可完全由協方差函數K得出。[5]


註譯

  1. ^ Platypus Innovation: A Simple Intro to Gaussian Processes (a great data modelling tool). 
  2. ^ Rasmussen, C. E. Gaussian Processes in Machine Learning. Advanced Lectures on Machine Learning. Lecture Notes in Computer Science 3176. 2004: 63–71. ISBN 978-3-540-23122-6. doi:10.1007/978-3-540-28650-9_4. 
  3. ^ Bishop, C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. 2006. ISBN 0-387-31073-8. 
  4. ^ Simon, Barry. Functional Integration and Quantum Physics. Academic Press. 1979. 
  5. ^ Seeger, Matthias. Gaussian Processes for Machine Learning. International Journal of Neural Systems. 2004, 14 (2): 69–104. doi:10.1142/s0129065704001899. 


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