等比數列

維基百科,自由的百科全書
(重新導向自等比級數
前往: 導覽搜尋

等比數列(又名幾何數列):是一種特殊數列。它的特點是:從第2項起,每一項與前一項的比都是一個常數。

例如數列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots

這就是一個等比數列,因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等,都等於2,2^{198}2^{197}的比也等於2。如2這樣後一項與前一項的比稱公比,符號為q

公式[編輯]

公比公式[編輯]

根據等比數列的定義可得:

q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)

通項公式[編輯]

可以任意定義一個等比數列\left\{a_n\right\}

這個等比數列從第一項起分別是a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots,公比為q,則有:

a_2=a_1q
a_3=a_2q=a_1q^2
a_4=a_3q=a_1q^3
\cdots

以此類推可得,等比數列\left\{a_n\right\}的通項公式為:

a_n=a_{n-1}q=a_1q^{n-1}

求和公式[編輯]

對上所定義的等比數列,即數列a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots。將所有項累加。

於是把a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots稱為等比數列的和。記為S_n

如果該等比數列的公比為q,則有:

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}(利用等比數列通項公式) (1)
先將兩邊同乘以公比q,有:
qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n
(1)式減去該式,有:
(1-q)S_n=a_1-a_1q^n (2)
然後進行一定的討論
q\ne1時,S_n=\frac {a_1(1-q^n)}{1-q}
而當q=1時,由(2)式無法解得通項公式。
但可以發現,此時:
S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}
=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1
=na_1
  • 綜上所述,等比數列\left\{a_n\right\}的求和公式為:
S_n=\left\{ \begin{array}{lcl} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & & (q \neq 1) \\ na_1, & & (q=1) \end{array} \right.
  • 經過推導,可以得到另一個求和公式:當q≠1時

{{S}_{n}}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1q^n-a_1}{q-1}

當-1<q<1時,等比數列無限項之和[編輯]

由於當-1<q<1n的值不斷增加時,q^n的值便會不斷減少而且趨於0,因此無限項之和:

S=\lim_{n \rightarrow +\infty } S_n = \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac {a_{1}-a_{1} q^{n}}{1-q} = \frac {a_1}{1-q}

性質[編輯]

如果數列\left\{a_n\right\}是等比數列,那麼有以下幾個性質:

  • a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)
證明:當m,n\in \mathbb{N^*},n>m時,a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n
  • 對於m,n,s,t\in \mathbb{N^*},若\!m+n=s+t,則a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t
證明a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}
\!m+n=s+t
a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t
  • 等比中項:在等比數列中,從第二項起,每一項都是與它等距離的前後兩項的等比中項。即等比數列\left\{a_n\right\}中有三項\!a_i\!a_j\!a_k,其中j-i=k-j\ge1,則有a_j^2=a_ia_k
  • 在原等比數列中,每隔k(k\in \mathbb{N^*})取出一項,按原來順序排列,所得的新數列仍為等比數列。
  • a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots也成等比數列。

參見[編輯]