本页使用了标题或全文手工转换

格拉姆-施密特正交化

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
线性代数
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基

这种正交化方法以Jørgen Pedersen GramErhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解Iwasawa decomposition)。

数值计算中,Gram-Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换Givens旋转进行正交化。

记法[编辑]

  • 维数n 的内积空间
  • 中的元素,可以是向量、函数,等等
  • 内积
  • ……张成的子空间
  • 上的投影

基本思想[编辑]

图1 上投影,构造上的正交基

Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

上的维子空间,其标准正交基为,且不在上。由投影原理知,与其在上的投影之差


是正交于子空间的,亦即正交于的正交基。因此只要将单位化,即

那么就是上扩展的子空间的标准正交基。

根据上述分析,对于向量组张成的空间 (),只要从其中一个向量(不妨设为)所张成的一维子空间开始(注意到就是的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化

算法[编辑]

首先需要确定已有基底向量的顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下:

这样就得到上的一组正交基,以及相应的标准正交基


考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合,欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa

下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量:

下面验证向量的正交性:

将这些向量单位化:

于是就是 的一组标准正交基底。

不同的形式[编辑]

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如,在实向量空间上,内积定义为:

在复向量空间上,内积定义为:

函数之间的内积则定义为:

与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。

参见[编辑]

外部链接[编辑]