1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + …

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数学中,“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”这个无穷级数绝对收敛交错级数中的一个较为简单的例子。

因为“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”是一个首项为1/2、公比为−1/2的几何级数,所以将它求和有:

\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.

Hackenbush英语Hackenbush超现实数[编辑]

示例:通过一个零和博弈(zero-value game)得到2/3

对该级数进行简单的移项后有: 1-\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac13.

上一步得到的级数由一个正整数加上一组或1/2的幂组成,所以它可以被转化为代表超现实数1/3的无限的蓝-红Hackenbush串(blue-red Hackenbush string):

LRRLRLR… = 1/3.[1]

简化后的Hackenbush串消去了重复的“R”:

LRLRLRL… = 2/3.[2]

Hackenbush博弈里的情况而言,这个等式意味着画在右侧的小块的值为0;则后移动小块的玩家可以有制胜的战略。

相关级数[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Berkelamp等 al. p.79
  2. ^ Berkelamp等 al. pp.307~308
  3. ^ Shawyer及Watson p.3
  4. ^ 参见Korevaar p.325

参考[编辑]