判别式

判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。

当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：

a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}

其中的 $a_{n}$ 是多项式的最高次项系数， $r_{1},...,r_{n}$ 是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

定义

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程 $ax^{2}+bx+c\,$ ，其中系数 $a,b,c$ 为实数，则它的判别式定义为：

\Delta =b^{2}-4ac\,

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：

r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.

方程的根与判别式的关系为：

\Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.

两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。

\Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,

\Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,

{\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}

二次多项式 $P(x)=ax^{2}+bx+c\,$ 的判别式是 $D=b^{2}-4ac\,$ 。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。

如果 $D>0\,$ ，那么 $P(x)\,$ 有两个相异实根 $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ，即 $P(x)\,$ 的图像穿过 $x\,$ 轴两次。
如果 $D=0\,$ ，那么 $P(x)\,$ 有两个相等实根 $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,$ ， $P(x)\,$ 的图像与 $x\,$ 轴相切。
如果 $D<0\,$ ，那么 $P(x)\,$ 没有实根，即 $P(x)\,$ 的图像与 $x\,$ 轴没有交点。

对于一般的一个多项式

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}

，

其判别式等于（差一个系数）以下的 $(2n-1)\times (2n-1)\,$ 的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：

\left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].

这个矩阵的行列式称为 $p(x)\,$ 和 $p'(x)\,$ 的结式，记为 $R(p,p')\,$ 。 $p(x)\,$ 的判别式 $D(p)\,$ 由以下公式给出：

D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,

.

例如，在 $n=4\,$ 的情况下，以上的行列式是：

{\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以 $a_{4}\,$ 。

作为等价条件，多项式的判别式等于：

a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}

其中 $r_{1},\cdots ,r_{n}\,$ 是多项式 $p(x)\,$ 的複根（重根按重数计算）：

{\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}

在这个表达式中可以清楚地看到 $p\,$ 有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根 $r_{i}\,$ 的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。

对于以下多项式所定义的圆锥曲线：

ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0

它的判别式为：

b^{2}-4ac

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。

判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和：

Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}

其中L_i是n个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有a_i的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式。

查论编多項式
函數	零次函數(常數函數) 一次函數二次函数三次函數四次函數五次函數
方程	一次方程二次方程三次方程四次方程五次方程六次方程七次方程八次方程
算法	多项式除法因式不可约多项式最大公因式（英语：Polynomial greatest common divisor）秦九韶算法結式判别式