传递集合、即在ZF或ZFC集合论中,一个集合(或类)
是传递的,如果
![{\displaystyle \forall y\forall z\ (y\in X)\land (z\in y)\Rightarrow (z\in X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb500c3bfac4d28e964a9c9d24fbf35b31f6a88)
或等价地,
![{\displaystyle \forall y(y\in X)\Rightarrow (y\subseteq X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f7fc64c40eb842ad7041a6d4ef008e64b8e089)
或者
![{\displaystyle \cup X\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6099ebdefa989129da3cfcf7533ee63e27fd2621)
设
为传递集,于是由
能推出
这和偏序的传递性类似。因此,说
是传递集相当于说
是一个偏序集。
在其它有基本元素的概念的集合论中,传递性可以说成
- 如果
不是基本元素且
,则![{\displaystyle B\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8124cb68686ede7083aa2a5a821f262eb62954)
不包含基本元素的一个集合
是传递性的,当且仅当
。
集合
的传递闭包是满足
的(在包含关系下)最小的传递集
。
设
为集合,则
的传递闭包可以直观地描述成:
。
传递类经常用于构造集合论自身的释义,通常叫做内模型。原因是有界公式所定义的性质对于传递类是绝对的。
序数可以被定义为成员均是传递集的传递集。