高斯常数

高斯常数符号为G，是1和根号2之算术-几何平均数的倒数：

G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}

因此

G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})

其中B为贝塔函数。

和其他常数的关系

高斯常数常用来表示 $\color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 的数值。

\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

换句话说

G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

因为 $\pi$ 和 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 互相代数独立，且 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 为无理数，因此高斯常数为超越数。

高斯常数常用来定义lemniscate常数，第一lemniscate常数为：

L_{1}\;=\;\pi G

第二lemniscate常数为：

L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}

在计算伯努利双纽线的弧长时会出现这些常数。

以下是一个用Θ函数定义高斯常数的公式

G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })

也可以用以下快速收敛的级数表示

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.

高斯常数也可以用无穷乘积表示：

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

在以下的定积分中也有高斯常数

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx

G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}

高斯常数的连分数为[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS数列A053002）

查论编卡尔·弗里德里希·高斯
成就	高斯复合律（英语：Gauss composition law）高斯映射高斯表示法（英语：Gauss notation）高斯法（英语：Gauss's method）高斯括号（英语：Gaussian brackets）高斯曲率高斯周期（英语：Gaussian period）高斯面高斯单位制高斯重力定律高斯定律高斯磁定律高斯散度定理高斯引力常数高斯-马尔可夫定理高斯和高斯-克吕格坐标系高斯常数磁强计计算谷神星运行轨迹
著作	《算术研究》
相关	高斯分布逆高斯分布高斯模糊加性高斯白噪声高斯混合模型高斯自由场高斯-卢卡斯定理高斯整数高斯有理数高斯圆问题高斯消元法高斯光学高斯年高斯滤波器高斯光束高斯噪声高斯轨道高斯炮高斯 (单位) 以卡尔·弗里德里希·高斯命名的事物列表
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