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单位元

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单位元(unit element[1])也称恒等元(identity element)、中立元(neutral element)、恒元,是集合里的一种特殊元素,与该集合里的二元运算有关。单位元和其他元素结合时,并不会改变那些元素。单位元在和其他相关概念中都有使用。

为一带有一二元运算的集合(称为原群)。若内有一元素S内所有元素a满足,则被称为左单位元;若满足,则称为右单位元。而若同时为左单位元及右单位元,则称为双边单位元,又简称为单位元

对应加法的单位元称为加法单位元(通常被标为0),而对应乘法的单位元则称为乘法单位元(通常被标为1)。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上,比如

例子

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集合 运算 单位元
实数 +(加法 0
实数 ·(乘法 1
实数 乘方 1(只为右单位元)
复数 +(加法 0
复数 ·(乘法 1
矩阵 +(加法) 零矩阵
方阵 ·(乘法) 单位矩阵
所有从集合M映射至其自身的函数 函数复合 单位函数
所有从集合M映射至其自身的函数 折积 狄拉克δ函数
字串 串接 空字元串
扩展的实数轴 最大值
扩展的实数轴 最小值
集合M的子集 (交集) M
集合 (联集) (空集)
布尔逻辑 逻辑与 ⊤(真值)
布尔逻辑 逻辑或 ⊥(假值)
闭二维流形 #(连通和
只两个元素 * 定义为

都是左单位元,但不存在右单位元和双边单位元

如最后一个例子所示,有多个左单位元是可能的,且事实上,每一个元素都可以是左单位元。同样地,右单位元也一样。但若同时存在有右单位元和左单位元,则它们会相同,且仅存在一个双边单位元。要证明这个,设为左单位元且为右单位元,则。特别的,不存在两个以上的单位元。若有两个单位元,则必同时等于

一个代数也可能没有单位元。最常见的例子为向量内积外积。前者缺乏单位元的原因在于,相乘的两个元素都会是向量,但乘积却会是个纯量。而外积缺乏单位元的原因则在于,任一非零外积的方向必和相乘的两个向量相正交,因此不可能得出一个和原向量指向同方向的外积向量。

参考

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  1. ^ 存档副本. [2023-07-19]. (原始内容存档于2023-07-19). 

另见

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