主理想整環

在抽象代數中，主理想整環（英語：principal ideal domain，簡稱PID）是其中所有理想都是主理想（由一個元素生成的理想）的整環^[1]。一個更廣泛的概念是主理想環，它指的是其中所有理想都是主理想的非零交換環^[2]，但一些作者（如布爾巴基）把主理想整環稱為主理想環^[3]。主理想整環和主理想環的區別在於主理想環可以有零因子，而主理想整環不可以。

因此，在可除性上，主理想整環性質與整數類似：每一個主理想整環的元素都有唯一的質元素分解（因此算術基本定理的類似形式成立）；每一對主理想整環的元素都有最大公因數（但可能不能通過歐幾里得算法計算它）。如果 $x$ 和 $y$ 是主理想整環的元素但沒有可逆元以外的公因數，那麼每個主理想整環的元素都可以寫成 $ax+by$ 的形式。

主理想整環是諾特環、整閉整環（英語：integrally closed domain）、唯一分解整環、戴德金整環。所有歐幾里得整環和域都是主理想整環。

主理想整環在以下的包含鏈中出現：

偽環 ⊃ 環 ⊃ 交換環 ⊃ 整環 ⊃ 整閉整環（英語：integrally closed domain） ⊃ GCD環 ⊃ 唯一分解整環 ⊃ 主理想整環 ⊃ 歐幾里得整環 ⊃ 域 ⊃ 代數閉域

例子

主理想整環的例子包括：

$K$ ：任何域^[4]；
$\mathbb {Z}$ ：整數環^[1]；
$K[x]$ ：單變量多項式環，其中 $K$ 是域^[5]；（這一命題的逆命題——如果 $A[x]$ 是主理想整環，那麼 $A$ 是域——也成立^[5]）除此以外，在域上的單變量形式冪級數環也是主理想整環，因為其中的所有理想都有 $\langle x^{k}\rangle$ 的形式。
$\mathbb {Z} [i]$ ：高斯整數環^[6]^[1]；
$\mathbb {Z} [\omega ]$ （其中 $\omega$ 是1的三次本原單位根）：艾森斯坦整數；
所有的離散賦值環（英語：discrete valuation ring）^[6]，例如 $p$ 進整數環 $\mathbb {Z} _{p}$ ^[7]。

不是主理想整環的例子

不是主理想整環的整環包括：

$\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ 不是唯一分解整環，原因是 $4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}})$ 。由於所有主理想整環都是唯一分解整環，因此 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ 也不是主理想整環。除此以外， $\langle 2,1+{\sqrt {-3}}\rangle$ 不是主理想。
$\mathbb {Z} [x]$ ：整係數多項式環^[8]。由於理想 $\langle 2,x\rangle$ 不能由單個多項式生成， $\mathbb {Z} [x]$ 不是主理想整環。
$K[x,y,\ldots ]$ ：在環 $K$ 上的多變量多項式環不是主理想整環，原因是理想 $\langle x,y\rangle$ 不是主理想。
大多數代數整數環不是主理想整環。具體來說，對於很多 $p$ 次本原單位根來說， $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$ 不是主理想整環^[9]。代數整數環的類數給出了它們離主理想整環有多遠的度量。這啟發戴德金將環元素的唯一分解替換為理想的唯一分解，從而定義戴德金整環。

主理想整環上的模

有關主理想整環上的模的關鍵結論是它的結構定理：如果 $R$ 是主理想整環，且 $M$ 是一個 $R$ 上的有限生成模，那麼 $M$ 是循環模——也就是由一個元素生成的模——的直和。對於其中每個循環模，都存在 $x\in R$ 使得它同構於 $R/xR$ ^[10]（注意： $x$ 可能等於 $0$ ，在這種情況下 $R/xR=R$ ）。

如果 $M$ 是主理想整環 $R$ 上的一個自由模，那麼 $M$ 的所有子模也是自由模^[11]。這一結論在非主理想整環上的模中不成立，例如 $\mathbb {Z} [X]$ 上的自由模 $\mathbb {Z} [X]$ 的子模 $\langle 2,X\rangle$ 就不是自由模。

性質

在主理想整環中，任何兩個元素 $a,b$ 都有最大公因數，可以通過計算理想 $\langle a,b\rangle$ 的生成元求得^[12]。

所有歐幾里得整環都是主理想整環^[8]，但它的逆命題不成立。一個不是歐幾里得整環的主理想整環的例子是環 $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$ ^[12]。這是由西奧多·默慈金（英語：Theodore Motzkin）首先證明的^[13]，是第一個被證明不是歐幾里得整環的主理想整環。在這一環中，儘管 $1+{\sqrt {-19}}$ 和 $4$ 有最大公因數 $2$ ，但不存在滿足 $0\leq |r|<4$ 的 $q,r$ 使得 $(1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r$ 。

所有主理想整環都是唯一分解整環^[14]，而它的逆命題不成立，例如環 $\mathbb {Z} [x]$ 是唯一分解整環但不是主理想整環^[15]。

所有主理想整環都是諾特環^[16]。
在所有交換環中，極大理想都是素理想^[17]。在主理想整環中，所有非零素理想都是極大理想^[12]。
所有主理想整環都是整閉整環（英語：integrally closed domain）^[14]^[18]。

以上三個條件是戴德金整環的定義，因此所有主理想整環都是戴德金整環^[19]。

令 $A$ 為一個整環，則以下命題是等價的：

$A$ 是主理想整環。
$A$ 中的所有素理想都是主理想^[20]。
$A$ 既是戴德金整環也是唯一分解整環。
$A$ 的每個有限生成理想都是主理想（也就是說， $A$ 既是裴蜀整環（英語：Bézout domain）也滿足主理想的升鏈條件（英語：ascending chain condition on principal ideals））。
$A$ 可被賦予一個戴德金–哈斯範數（英語：Dedekind–Hasse norm）^[5]。

所有歐幾里得範數都是戴德金–哈斯範數^[5]，因此(5)表明歐幾里得整環都是主理想整環。(4)可以與以下結論對比：

一個整環是唯一分解整環當且僅當它是GCD環（其中每兩個元素都有最大公因數的整環）且滿足主理想的升鏈條件。

一個整環是裴蜀整環（英語：Bézout domain）當且僅當其中的任何兩個元素都有一個是它們的線性組合的最大公因數^[20]。因此，裴蜀整環是GCD環，而(4)給出了主理想整環是唯一分解整環的另一種證法。

參見

裴蜀定理

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Dummit & Foote (2004)，第279頁.
^ Lang (2002)，第86頁.
^ Weisstein, Eric W. Principal Ring. mathworld.wolfram.com. [2023-12-15]. （原始內容存檔於2024-05-19）（英語）.
^ Dummit & Foote (2004)，第271頁.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Dummit & Foote (2004)，第281頁.
^ ^6.0 ^6.1 Dummit & Foote (2004)，第272頁.
^ Lang (2002)，第487頁.
^ ^8.0 ^8.1 Dummit & Foote (2004)，第273頁.
^ Milne. Algebraic Number Theory (PDF): 5. [2023-12-15]. （原始內容存檔 (PDF)於2024-05-12）.
^ Dummit & Foote (2004)，第462頁.
^ Dummit & Foote (2004)，第460頁.
^ ^12.0 ^12.1 ^12.2 Dummit & Foote (2004)，第280頁.
^ Motzkin, Th. The Euclidean algorithm. Bulletin of the American Mathematical Society. 1949-12, 55 (12): 1142–1146 [2023-12-15]. ISSN 0002-9904. （原始內容存檔於2023-11-12）.
^ ^14.0 ^14.1 Dummit & Foote (2004)，第287頁.
^ Dummit & Foote (2004)，第292頁.
^ Dummit & Foote (2004)，第459頁.
^ Dummit & Foote (2004)，第256頁.
^ Dummit & Foote (2004)，第693頁.
^ Dummit & Foote (2004)，第764頁.
^ ^20.0 ^20.1 Dummit & Foote (2004)，第283頁.

Dummit, David Steven; Foote, Richard Martin, Abstract algebra 3, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004, ISBN 9780471433347
Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. A first course in abstract algebra 5. Addison-Wesley Publishing Company. 1967. ISBN 0201534673.
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers. 2004. ISBN 1402026900.
Jacobson, Nathan. Basic Algebra I. Dover. 2009. ISBN 9780486471891.
Ribenboim, Paulo. Classical theory of algebraic numbers. Springer. 2001. ISBN 0387950702.

外部連結

MathWorld上的主理想整環（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[FOOTNOTEDummitFoote2004279-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Dummit & Foote (2004)，第279頁.

[FOOTNOTELang200286-2] Lang (2002)，第86頁.

[3] Weisstein, Eric W. Principal Ring. mathworld.wolfram.com. [2023-12-15]. （原始內容存檔於2024-05-19）（英語）.

[FOOTNOTEDummitFoote2004271-4] Dummit & Foote (2004)，第271頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004281-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Dummit & Foote (2004)，第281頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004272-6] 6.0 ^6.1 Dummit & Foote (2004)，第272頁.

[FOOTNOTELang2002487-7] Lang (2002)，第487頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004273-8] 8.0 ^8.1 Dummit & Foote (2004)，第273頁.

[9] Milne. Algebraic Number Theory (PDF): 5. [2023-12-15]. （原始內容存檔 (PDF)於2024-05-12）.

[FOOTNOTEDummitFoote2004462-10] Dummit & Foote (2004)，第462頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004460-11] Dummit & Foote (2004)，第460頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004280-12] 12.0 ^12.1 ^12.2 Dummit & Foote (2004)，第280頁.

[13] Motzkin, Th. The Euclidean algorithm. Bulletin of the American Mathematical Society. 1949-12, 55 (12): 1142–1146 [2023-12-15]. ISSN 0002-9904. （原始內容存檔於2023-11-12）.

[FOOTNOTEDummitFoote2004287-14] 14.0 ^14.1 Dummit & Foote (2004)，第287頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004292-15] Dummit & Foote (2004)，第292頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004459-16] Dummit & Foote (2004)，第459頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004256-17] Dummit & Foote (2004)，第256頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004693-18] Dummit & Foote (2004)，第693頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004764-19] Dummit & Foote (2004)，第764頁.

[FOOTNOTEDummitFoote2004283-20] 20.0 ^20.1 Dummit & Foote (2004)，第283頁.

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