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無因次量

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因次分析中,無因次量[1](dimensionless quantity)又稱無量綱量因次為一的量[2][3](quantity of dimension one)[註 1]指的是沒有因次。它是個單純的數字,因次為1[4]

無因次量在數學物理學工程學經濟學以及日常生活中(如數數)被廣泛使用。一些廣為人知的無因次量包括圓周率π)、歐拉常數e)和黃金分割率φ)等。與之相對的是有因次量,擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無因次量常寫作兩個有因次量之,但其最終的綱量互相消除後會得出無因次量。比如,應變是量度形變的量,定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的因次均為L(長度),因此相除後得出的量是沒有因次的。

屬性

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  • 雖然無因次量本身沒有因次,但是它也有時被加以無因次的單位。在分子和分母使用同樣的單位(kg/kg或mol/mol),有時可以幫助表達所測量的數值(如質量百分濃度摩爾分數等)。某些量還可以表示為不同的單位之比,但這兩個單位的因次相同(如光年除以)。這種做法可以用於計算圖表中的斜率,或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味着存在因次,而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無因次量有:%=0.01,百分比;‰=0.001,千分比;ppm=10−6百萬分比;ppb=10−9十億分比;ppt=10−12兆分比(萬億分比)以及角單位弧度百分度)等等。
  • 兩個具有相同因次之比是沒有因次的,而且無論用甚麼單位計算,該量還是不變的。例如,如果物體A對物體B施大小為F的作用力,那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1(見牛頓第三定律),而不取決於測量Ff所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設:物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1,而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話,這就意味着牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制,而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎,其表述為:所有物理定律均能以數個無因次量的數學組合(加、減、乘、除等等)寫成恆等式。如果無因次量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話,那麼白金漢π定理就不成立了。

白金漢π定理

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白金漢π定理的另一項推論為,如果n變數之間有某種函數關係,而這些變數中有k個獨立的因次,則可以產生p = nk個獨立的無因次量。

例子

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磁力攪拌器電功率是被攪拌液體的密度黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裏共有n = 5個變量

n = 5個變量共由以下k = 3個因次組成:

  • 長度:L (m)
  • 時間:T (s)
  • 質量:M (kg)

根據該定理,通過組合這n = 5個變量,可以得出p = nk = 5 − 3 = 2個獨立的無因次量。此例中的這兩個無因次量分別為:

  • 雷諾數(描述流體流動的無因次量)
  • 功率數(描述攪拌器,同時包含流體密度的無因次量)

例子

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  • 在10個蘋果中,有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%,這是個無因次量。
  • :角的定義為,以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得,因此是個無因次量。當所用的(無因次)單位為弧度時,那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時,「另一長度」就是圓周長的360分之1。
  • 圓周率是個無因次量,定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時(厘米英里光年等等)都會是相同的,只要周長和直徑以同樣的單位量度。

無因次量列表

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下表中所有的量均為無因次量:

名稱 標準符號 定義 應用範疇
阿貝數 V 光學光的色散
活度系數 γ 化學(活躍分子或原子佔總數之比)
反照率 氣候學天文學
勞侖茲因子 相對論
阿基米德數 Ar 密度差造成的流體運動
阿倫尼烏斯數 活化能熱能之比[5]
相對原子質量 M 化學
伯格諾德數 Ba 固體塊的流動(如米粒或沙子)[6]
比贊數
(熱力學)
Be 熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比[7]
比贊數
(流體力學)
Be 沿着通道的壓力差[8]
賓漢數 Bm 屈服應力與黏滯應力之比[5]
畢奧數 Bi 固體的表面傳導率與體積傳導率之比
布萊克數英語Blake number BlB 流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性
博登斯坦數 Bo 停留時間的分佈
邦德數 Bo 浮力推動的毛細作用[9]
布林克曼數 Br 從容器壁到黏性流體的熱傳導
Brownell-Katz數 毛細管數邦德數的組合
毛細管數 Ca 表面張力影響的流體流動
錢德拉塞卡數英語Chandrasekhar number 對流,用以表達洛倫茲力黏度之比
靜摩擦系數 物體間的靜摩擦
動摩擦系數 物體互相滑動時的摩擦
柯爾伯恩j因數 熱傳導的無因次系數
庫朗數 雙曲型偏微分方程之解[10]
達姆科勒數 Da 反應時間與共振時間之比
阻尼比 系統中阻尼的程度
達西阻力系數 流體流動
狄恩數 D 彎曲管道中的流體
底波拉數 De 粘彈性流體的流動學
分貝 dB 兩個強度之比,通常用於聲音
阻力系數 流動阻力
Dukhin數 Du 異質系統中表面電導率與體積電導率之比
歐拉常數 e 數學
埃克特數 Ec 熱對流傳導
埃克曼數 Ek 地球物理學(黏質阻力)
彈性 E 經濟學,常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響
厄特沃什數 Eo 判斷汽泡或液滴形狀
埃里克森數 Er 液晶流動特性
歐拉數 (物理學) Eu 流體動力學(壓力與慣性力之比)
過量溫度系數 Θr 熱力學與流體動力學[11]
范寧摩擦係數英語Fanning friction factor f 管道中的流體流動[12]
費根鮑姆常數 混沌理論(週期倍增)[13]
精細結構常數 量子電動力學
焦比 光學攝影
Foppl-von Karman數 薄殼失穩
傅里葉數 Fo 熱傳導
菲涅耳數 F 狹縫繞射[14]
福祿數 Fr 和表面行為
增益 電子學(信號輸出與信號輸入之比)
速比 單車傳動[15]
伽利萊數 Ga 引力造成的黏質流動
黃金分割比 數學美學
格雷茨數 Gz 熱流
格拉斯霍夫數 Gr 自由對流
重力耦合常數 重力
八田數 Ha 化學反應造成的吸附增強
哈根數 Hg 強制對流
水力梯度 i 地下水流動
雅各布數 Ja 液汽相變時所吸收的顯能與潛能之比[16]
Karlovitz數 湍流燃燒
Kc數 震盪流場中物體的阻力慣性之比
克努森數 Kn 分子平均自由程長度與某代表性長度之比
尿素清除指數 Kt/V 醫學
Kutateladze數 K 兩相逆流
拉普拉斯數 La 混溶流體中的自由對流
路易斯數 Le 質量擴散率與熱擴散率之比
升力系數 在某攻角翼型升力
Lockhart-Martinelli參數 濕氣的流動 [17]
樂甫數 地球的硬性
倫德奎斯特數 ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
馬赫數 M 氣體動力學
磁雷諾數 磁流體力學
曼寧糙率係數 n 開放管道流體流動(由引力推動)[18]
馬蘭戈尼數 Mg 由熱表面張力偏差引起的馬蘭戈尼流
莫頓數 Mo 判斷汽泡或液滴形狀
彭巴數 溶液冷凍時的熱傳導與擴散[19]
努塞爾特數 Nu 強制對流下的熱傳導
奧內佐格數 Oh 液體霧化,馬蘭戈尼流
佩克萊特數 Pe 平流-擴散問題,總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係
剝離數 微觀結構與底物的黏附作用[20]
導流系數 K 在帶電離子束中空間電荷的強度
圓周率 數學(圓周長與直徑之比)
泊松比 彈性(橫向與縱向負荷)
多孔性 地質學
功率因數 電子學(有功功率與視在功率之比)
功率數 攪拌器的功率消耗
普蘭特數 黏性擴散率與熱擴散率之比
壓力系數 翼型上某個點的壓力
品質因子 描述振子阻尼
弧度 量度平面角,
瑞利數 自由對流中的浮力和黏滯力
折射率 n 電磁學、光學
雷諾數 流體的慣性力與黏滯力之比[5]
比重 RD 比重計,物質間的比較
理查遜數 Ri 浮力對流動穩定性的影響[21]
洛氏硬度 硬度
滾動阻力係數 Crr 車輛動力學
羅斯貝數 地球物理學中的慣性力,描述科里奧利力的影響程度
勞斯數 ZP 沈積物流移
施密特數 Sc 流體動力學(質量轉移與擴散)[22]
形狀因數 H 邊界層流動中排移厚度與動量厚度之比
舍伍德數 Sh 強制對流中的質量轉移
希爾茲參數 τθ 流體運動造成的沈積物流移的臨界
索默菲德數 邊層潤滑[23]
斯坦頓數 St 強制對流中的熱傳遞
斯蒂芬數 Ste 相變時的熱傳遞
斯托克斯數 流體流中的粒子動力學
應變 材料科學彈性
斯特勞哈爾數 StSr 持續並脈動的流體流動[24]
泰勒數 Ta 旋轉的流體流動
Ursell數 U 在淺流體層上表面引力波的非線性度
Vadasz數 Va 在多孔介質中流體流動時,該數影響多孔性、普蘭特數以及達西阻力系數
范特霍夫因子 i 化學定量分析KfKb
Wallis參數 J* 多相流體流動時的表現速
韋伯數 We 表面極為彎曲的多相流體流動
魏森貝格數 Wi 粘彈性流體流動[25]
沃默斯利數 持續並脈動的流體流動[26]

無因次的物理常數

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一些基本物理常數,如真空中的光速萬有引力常數普朗克常數波茲曼常數等等,在適當挑選時間長度質量電荷溫度等單位後,可以歸一(數值為1)。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一,剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括:

註釋

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  1. ^ 其他稱呼另有:無維量無維度量無維數量無次元量

參見

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參考文獻

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  1. ^ 存档副本. [2022-04-28]. (原始內容存檔於2022-04-28). 
  2. ^ https://www.termonline.cn/word/6875/1#
  3. ^ 存档副本. [2022-04-28]. (原始內容存檔於2022-04-28). 
  4. ^ 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22]. (原始內容存檔於2012-10-04). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03). 
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外部連結

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