模糊集

模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。

定义

给定一个论域$U$ ，那么从$U$到单位区间$[0,1]$的一个映射$\mu _{A}:U\mapsto [0,1]$称为$U$上的一个模糊集，或$U$的一个模糊子集。

表示

模糊集可以记为$A$。映射（函数）$\mu _{A}(\cdot )$或简记为$A(\cdot )$叫做模糊集$A$的隶属函数。对于每个$x\in U$， $\mu _{A}(x)$叫做元素$x$对模糊集$A$的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：

1. 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
2. Zadeh记法，例如$A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}$。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
3. 序偶法，例如$A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}$，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
4. 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如$A=(1,0.5,0.72,0)$。

和传统集合的关系

和传统的集合一样，模糊集也有它的元素，但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度，其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德（1965）所引进的，是经典集合论的一种推广。在经典的集合论中，所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合（因此模糊集不是集合）；可以说，每个元素对每个集合的归属性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数（membership function），其值允许取闭区间$[0,1]$（单位区间）中的任何实数，用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集$A$的归属函数为$M$ ，而$a$、$b$、$c$为三个元素；如果$M(a)=1$，$M(b)=0$，$M(c)={\frac {1}{2}}$，则可以说 “$a$完全属于$A$”，“$b$完全不属于$A$”，“$c$对$A$的归属度为${\frac {1}{2}}$”（注意没有说“$c$有一半属于$A$”，因为尚未规定${\frac {1}{2}}$的归属度具有什么特殊含义）。作为特例，当归属函数的值只能取 0 或 1 时，就得到了传统集合论常用的指示函数（indicator function）。传统集合在模糊集理论中通常称作“明确集”（crisp set）。

截集与截积

设 $A$为 $U$上的模糊集（记作 $A\in {\mathcal {F}}(U)$），任取 $\lambda \in [0,1]$，则

$A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}$，

称$A_{\lambda }$为$A$的$\lambda$截集，而$\lambda$称为阈值或置信水平。将上式中的$\geq$替换为$>$，记为$A_{S\lambda }$，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然$A_{1}$为$A$的核，即$\ker A$；如果$\ker A\neq \varnothing$，则称$A$为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设$\lambda \in [0,1]$，$A\in F(U)$，则$\forall u\in U$，$\lambda$与$A$的截积（或称为$\lambda$截集的数乘，记为$\lambda A$）定义为：

$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}$

根据定义，截积仍是$U$上的模糊集合。

分解定理与表现定理

分解定理：

设$A\in F(U)$，则

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }$

即任一模糊集$A$都可以表达为一族简单模糊集$\left\{\lambda a_{\lambda }\right\}$的并。也即，一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设$H$为$U$上的任何一个集合套，则

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )$

是$U$上的一个模糊集，且$\forall \lambda \in [0,1]$，有

（1）$A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )$

（2）$A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )$

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊度

一个模糊集$A$的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射$D:F(U)\rightarrow [0,1]$满足下述5条性质：

1. 清晰性：$D(A)=0$当且仅当$A\in P(U)$。（经典集的模糊度恒为0。）
2. 模糊性：$D(A)=1$当且仅当$\forall u\in U$有$A(u)=0.5$。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
3. 单调性：$\forall u\in U$，若$A(u)\leq B(u)\leq 0.5$，或者$A(u)\geq B(u)\geq 0.5$，则$D(A)\leq D(B)$。
4. 对称性：$\forall A\in F(U)$，有$D(A^{c})=D(A)$。（补集的模糊度相等。）
5. 可加性：$D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)$。

则称$D$是定义在$F(U)$上的模糊度函数，而$D(A)$为模糊集$A$的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是
${\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}$
其中$p>0$是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当$p=1$的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当$p=2$的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊测度(Fuzzy measures)

${\mathfrak {B}}$是舆集$\mathrm {X}$的一种。

用$g$函数定义${\mathfrak {B}}$，包含下列3项特性称为模糊测度:

①$g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1$

---$g$函数代0值，表示没有值为空值，用数学0来表示。$g$函数代$X$表示舆集全部带进去了塞满了，用1表示塞满。

②若$A,B\in {\mathfrak {B}}$和$A\subseteq B$, 则$g(A)\leq g(B)$.

---$A,B$是属于${\mathfrak {B}}$的一部分，$A$在$B$里面也可能跟$B$一样大，则$g(A)\leq g(B)$

③If $A_{n}$∈${\mathfrak {B}}$, $A_{1}$⊆$A_{2}$⊆…,then $\lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})$

---当$A_{n}$属于${\mathfrak {B}}$同时$A_{1}$包含于$A_{2}\subseteq \ldots$，则将$A_{n}$代入$g$函数趋小所得的值等同于先趋小$A_{n}$再代入$g$函数所求得的值。

模糊集的运算

各种算子

• Zadeh 算子，$\max$即为并，$\min$即为交

${\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}$

• 代数算子（概率和、代数积）

${\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}$

• 有界算子

${\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}$

• Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}$

• Hamacher 算子，其中$\nu \in [0,+\infty )$是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}$

• Yager 算子，其中$p$是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

${\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}$

• $\lambda -\gamma$算子，其中$\lambda ,\gamma \in [0,1]$是参数

${\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}$

• Dobois-Prade 算子，其中$\lambda \in [0,1]$是参数

${\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}$

算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

算子	结合律	交换律	分配律	互补律	同一律	幂等律	支配律	吸收律	双重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代数	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

线性补偿是指：$(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的并运算	幂等律	排中律	分配律	结合律	线性补偿
Zadeh	√	.	√	√	.
代数	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊集之间的距离

使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集$F(U)$上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到$[0,1]$区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

${\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}$

贴近度

主条目：贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

• 最大最小贴近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}$

• 算术平均最小贴近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}$

• 几何平均最小贴近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}$

• 指数贴近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}$

参见

• 粗集合
• 解模糊