可数选择公理

可数选择公理，指示为${\text{AC}}_{\omega }$，是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保罗·寇恩证明了AC_ω在Zermelo-Fraenkel集合论（${\text{ZF}}$）中是不可证明的。

${\text{ZF}}+{\text{AC}}_{\omega }$足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的（等价的说：有可数无限的真子集）。${\text{AC}}_{\omega }$对于开发数学分析特别有用，这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数（考虑为有理数的柯西序列的集合）。

${\text{AC}}_{\omega }$是弱形式的选择公理（AC），它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了依赖选择公理（DC），而DC足够证明${\text{AC}}_{\omega }$。但是${\text{AC}}_{\omega }$要严格弱于DC（而DC严格弱于AC）。

用法

作为应用${\text{AC}}_{\omega }$的例子，下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明（在${\text{ZF}}+{\text{AC}}_{\omega }$中）：

设$X$是无限的。对于每个自然数$n$，设$A_{n}$是$X$的所有$2^{n}$元素子集的集合。因为$X$是无限的，每个$A_{n}$是非空的。对序列$A_{n}$应用${\text{AC}}_{\omega }$，便得到了序列（$B_{n}:n=0,1,2,3,\ldots$)，这里的每个$B_{n}$是有$2^{n}$个元素的$X$的子集。

集合$B_{n}$可能是相交的，但是我们可以定义

$C_{0}=B_{0}$

$C_{n}$是$B_{n}$与所有$C_{j}$的并集的差集，$j<n$。

明显的每个集合$C_{n}$都有至少1个和至多$2^{n}$个元素，而集合$C_{n}$是两两不相交的。再对序列$C_{n}$应用${\text{AC}}_{\omega }$，便得到了序列$(c_{n}:n=0,1,2,\ldots )$，其中$c_{n}\in C_{n}$。

所以所有$c_{n}$都是相异的，而$X$包含一个可数集合。定义把每个$c_{n}$映射到$c_{n+1}$的函数$f$（并固定所有$X$的其他元素），f是从$X$到$X$的一一映射，它不是满射，这证明了$X$是戴德金无限的。

参见

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