冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论

冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（英语：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是种以类为直观动机的一阶公理化集合论，它是配上选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（英语：Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of Choice，ZFC）的保守扩展（ZFC里可以证明的定理也都是NBG的定理），而且NBG仅需在一阶逻辑基本的公理模式上添加有限数目的公理，但ZFC需添加与集合有关的公理模式。

NBG首先由冯·诺伊曼在1920年代提出，从1937年开始由保罗·博内斯作修改，在1940年由哥德尔进一步简化。

基本符号

在NBG下，“属于关系”以一个双元断言符号 $P(x,\,y)$ 来表示， $P(x,\,y)$ 通常简记为 $x\in y$ ，并被直观理解成“x属于y”；类似地， $P(x,\,y)$ 的否定 $\neg P(x,\,y)$ 通称被简记为 $x\notin y$ ，并被直观理解为“x不属于y”。

以下都把 $\vdash _{NBG}$ 简写为普通的 $\vdash$。

本条目定理的证明会频繁引用一阶逻辑的定理，定理的代号可以参见一阶逻辑#常用的推理性质一节。

类与集合

“类”这个名词在公理化集合论出现之前，通常被理解为“以集合为元素的集合。”或是集合（如等价类）。

但NBG所谈及的一切对象（变数和项）都是类。而所谓的集合，是属于某个类的类，也就是说以下的合式公式（${\mathcal {M}}$ 来自德语的"集合"“Menge”）式

${\mathcal {M}}(x):=\exists y(x\in y)$

可直观理解为“x是集合”，特别注意到，为了避免跟其他合式公式的变数产生混淆， $y$ 必须是展开 ${\mathcal {M}}(x)$ 时首次出现的变数。反之合式公式

${\mathcal {Pr}}(x):=\neg {\mathcal {M}}(x)$

可称为“ $x$ 是真类（proper class）”。

子类

直观上“x包含于y”意为“所有x的元素a都会属于y”，以此为动机，NBG有以下的符号简写

$x\subseteq y:=\forall a[\,(a\in x)\Rightarrow (a\in y)\,]$

以上可称为“x包含于y”或“x是y的子类（subclass）”；在 ${\mathcal {M}}(x)$ 和 ${\mathcal {M}}(y)$ 成立的前提下（也就是“x和y都是集合”），可称为“x是y的子集（subset）”。

与集合相关的量词简写

仿造量词的简写，对于任意变数 $x$ 与合式公式 ${\mathcal {A}}$ ，可作如下的符号定义

$({\forall }^{M}x){\mathcal {A}}:=\forall x[\,{\mathcal {M}}(x)\Rightarrow {\mathcal {A}}\,]$ （对所有 $x$ ， $x$ 是集合则 ${\mathcal {A}}$ ）

$({\exists }^{M}x){\mathcal {A}}:=\exists x[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {A}}\,]$ （存在 $x$ 不但是集合且 ${\mathcal {A}}$ ）

也有书籍以小写字母来表示被量化的集合变数，但考虑到一般的非逻辑数学书籍都将大小写的差异挪作他用，为避免混淆本条目采用以上的上标表示法。

等号公理

看待等号的不同方式

直观上，两个集合相等意为“x的元素就是y的元素”，也就是朴素集合论的外延公理，换句话说，可用以下的严谨合式公式重写为

$\forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]$

但一阶逻辑的等号可以视为单独的断言符号，也可以视为一条复合的合式公式。具体来说，视为一个新的断言符号 $Q(x,\,y)$ 并简记为 $x=y$ 的话，需在NBG内额外添加以下的公理

$(T^{\prime })$ — $(x=y)\Leftrightarrow \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]$

直观上可理解为“类x的元素就是类y的元素，等价于类x等于类y”。

但视为一条合式公式，则仅需做以下的符号定义

$(x=y):=\forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]$

不管是何种看待方法，习惯上都会把 $\neg (x=y)$ 简记成 $(x\neq y)$ （直观上的“不相等”）。

等号的良置

为了确保 $(x=y)$ 的确符合直观上对等号的要求，还需添加以下的公理

$(T)$ — $(x=y)\Rightarrow \forall z[\,(x\in z)\Leftrightarrow (y\in z)\,]$

直观上，这个公理确保“x等于y，则x属于z等同于y属于z”。

这样，以下的元定理就确保了如此定义的等号是“成功的”。

元定理 — NBG是带相等符号 $(x=y)$ 的一阶逻辑理论

证明

以下的证明会逐条检验等式定理一节所条列的定义 （E1）： $(x=x)$ 展开来是（或等价于） $\forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)\,]$ 那考虑到恒等关系和(AND)有 $\vdash (a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)$ 那再套用(GEN)，就会有 $\vdash \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)\,]$ 所以（E1）得证。 （E2）： 因为目前的NBG理论内没有任何函数符号，所以对变数 $x$ 来说，NBG的原子公式只有 $(x\in z)$ 和 $(z\in x)$ 两种可能，这样的话，（E2）等同于要求以下两式是NBG的定理 (1) $(x=y)\Rightarrow [\,(x\in z)\Rightarrow (y\in z)\,]$ (2) $(x=y)\Rightarrow [\,(z\in x)\Rightarrow (z\in y)\,]$ 但依据量词公理（A4），(1)可从本节一开始添加的公理（T）所推出；类似地，把 $(x=y)$ 视为断言符号时，(2)都可以从（T'）配合（A4）推出；若把 $(x=y)$ 视为合式公式的简写，(2)也可以用 $(x=y)$ 的定义配上（A4）推出。 （E3）： 本条定义要求以下的合式公式为NBG的定理 $(x=y)\Rightarrow (y=x)$ 从且的交换性有 $\vdash (\forall z)[(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\Rightarrow (\forall z)[(z\in y)\Leftrightarrow (z\in x)]$ 对上式使用(AND)和(D1)就有 $(x=y)\vdash (\forall z)[(z\in y)\Leftrightarrow (z\in x)]$ 再对上面式使用(AND)和(D1)又有 $(x=y)\vdash (y=x)$ 所以（E3）的确是NBG的定理。 综上所述，定理得证。$\Box$

真子类

在定义“相等”以后，可以把“相等的类”排除出子类的定义中，换句话说，NBG有以下的符号定义

$x\subset y:=(x\subseteq y)\wedge (x\neq y)$

可直观理解为“x是y的真子类（proper subclass），定义为x包含于y且x不等于y”；在 ${\mathcal {M}}(x)$ 和 ${\mathcal {M}}(y)$ 成立的前提下（也就是“x和y都是集合”），可称为“x是y的真子集（proper subset）”。

外延定理

为以下的定理可直观理解为“x等于y等价于，对所有集合z，z属于x等价于z属于y”，也就是说，等于的定义可以“限缩”成元素为集合的状况。

外延定理 — $\vdash (x=y)\Leftrightarrow (\forall ^{M}z)[\,(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)\,]$

证明

以下取一个不曾出现的变数 $t$ 来展开 ${\mathcal {M}}(z)$ ($\Rightarrow$)$\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\vdash \forall z\{\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}$ (1)$\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$ (Hyp) (2)$z\in x\Leftrightarrow z\in y$ (MP with 1, A4) (3)$\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with 2, A1) (4)$\forall z\{\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}$ (GEN with 3) ($\Leftarrow$)$\forall z\{{\mathcal {M}}(z)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}\vdash \forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$ ${\mathcal {A}}:=(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)$ (1)$\forall z[\exists t(z\in t)\Rightarrow {\mathcal {A}}]$ (Hyp) (2)$\exists t(z\in t)\Rightarrow {\mathcal {A}}$ (MP with A4, 1) (3)$\neg {\mathcal {A}}\Rightarrow \forall t[\neg (z\in t)]$ (MP with T, 2) (4) $\neg {\mathcal {A}}\Rightarrow [\neg (z\in t)]$ (D1, with A4, 3) (5)$(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with T, 4) (6)$\forall t\{(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}$ (GEN with 5) (7)$(z\in x)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with A4, 6) (8)$(z\in y)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with A4, 6) (9)$(z\in x)\Rightarrow [(z\in x)\Rightarrow (z\in y)]$ (D1 with AND, 7) (10)$(z\in y)\Rightarrow [(z\in y)\Rightarrow (z\in x)]$ (D1 with AND, 8) (11)$(z\in x)\Rightarrow (z\in y)$ (MP twice with A2, I, 9) (12)$(z\in y)\Rightarrow (z\in x)$ (MP twice with A2, I, 10) (13)$(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)$ (AND with 11, 12) (14)$\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$ (GEN with 13)

引入新的函数符号前，常需要唯一存在性的证明，而外延定理大大简化了证明的难度。

特定条件下的存在性

以下关于一阶逻辑的一般性定理，也大大简化了 NBG 引入新公理的过程所需的证明

（DC, Definition under certain condition） — $x$ 于合式公式 ${\mathcal {A}}$ 完全不自由且 $c$ 是常数符号。若

${\mathcal {A}}\vdash (\exists x){\mathcal {B}}$　

则有

$\vdash (\exists x)\{\,[\,\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)\,]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\,\}$

证明

(1)${\mathcal {A}}\Rightarrow (\exists x){\mathcal {B}}$ (Hyp) (2)$(\forall x)\{\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}\}$ (Hyp) (3)$\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}$ (MP with A4, 2) (4)$\neg [\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\wedge \neg ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})$ (MP with 3, DIS) (5)$\neg [\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]$ (MP with AND,4) (6)$\neg ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})$ (MP with AND, 4) (7)$\neg {\mathcal {A}}\Rightarrow \neg (x=c)$ (MP with DIS, DN 5) (8)${\mathcal {A}}\Rightarrow \neg {\mathcal {B}}$ (MP with DIS, DN, 5) (9)${\mathcal {B}}\Rightarrow \neg {\mathcal {A}}$ (MP with T, 8) (10)$(\exists x){\mathcal {B}}\Rightarrow \neg {\mathcal {A}}$ (GENe with 9) (11)${\mathcal {A}}\Rightarrow \neg (\exists x){\mathcal {B}}$ (MP with T, 11) (12)$\neg {\mathcal {A}}$ (A3' with 1, 11) (13)$\neg (x=c)$ (MP with 7, 12) (14)$(\forall x)[\neg (x=c)]$ (GEN with 13) 再套用一次（DN）也就是 ${\mathcal {A}}\Rightarrow (\exists x){\mathcal {B}}\,\vdash (\forall x)\{\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}\}\Rightarrow \neg (\exists x)(x=c)$ 但由一阶逻辑的等式性质有 $\vdash c=c$ 对上式以变数 $x$ 套用一次(GENe)有 $\vdash (\exists x)(x=c)$ 所以由(C2)本定理就会得证。$\Box$

空集合公理

$(N)$ — $({\exists }^{M}x)({\forall }^{M}y)(y\not \in x)$

这个公理的直观意思是“存在集合x，使的所有集合y都不属于x”。

事实上这个公理还确保了空集的唯一性，严格来说，它确保了：

定理 — $\vdash (\exists !x)[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]$

证明

假设 $({\forall }^{M}y)(y\not \in x)$ $({\forall }^{M}y)(y\not \in t)$ 那根据量词公理的(A4)有 ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (y\not \in x)$ ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (y\not \in t)$ 另一方面，根据常用的推理性质的(M0)有 $\vdash (y\not \in x)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]$ $\vdash (y\not \in t)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]$ 这样根据演绎定理的推论(D1)有 ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]$ ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]$ 这样根据常用的推理性质(T)有 $\neg [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)$ $\neg [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)$ 这样根据德摩根定律和逻辑与的(DisJ)有 $\neg \{\,[\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]\wedge [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]\,\}\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)$ 这样再根据(T)有 ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)\,]$ 这样根据普遍化有 $(\forall ^{M}y)[\,(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)\,]$ 那这样根据上节的外延定理有 $x=t$ 换句话说 $\vdash [\,({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\Rightarrow (x=t)$ 这样根据逻辑与的直观性质和(D1)有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]\wedge [\,{\mathcal {M}}(t)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\,\}\Rightarrow (x=t)$ 这样根据普遍化有 $\vdash (\forall x)(\forall t){\big \{}\,\{\,[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]\wedge [\,{\mathcal {M}}(t)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\,\}\Rightarrow (x=t)\,{\big \}}$ 再综合本节的空集合公理（N），本定理就得证了。$\Box$

也就是直观上，“空集是唯一存在的”，这样根据函数符号与唯一性一节，可以在NBG加入新的常数符号 $\varnothing$ 和以下的新公理（严格来说，把完全没有函数符号和常数符号的NBG扩展成有 $\varnothing$ 的新NBG，但两个理论是等效的）

$(N^{\prime })$ — ${\mathcal {M}}(\varnothing )\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in \varnothing )$

这个新公理直观上以“$\varnothing$为集合，且任意集合y都不属于$\varnothing$”，把 $\varnothing$ 定义成了空集的表示符号。

配对公理

$(P)$ — $({\forall }^{M}x)({\forall }^{M}y)({\exists }^{M}p)({\forall }^{M}z)\{(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\}$

这个公理的直观意思是“对所有集合x和集合y，存在一个仅以x跟y为元素的集合p”。

这个公理还确保了以下的唯一性：

定理（P-1） — ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\vdash (\exists !p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$

证明

根据量词的简写，配对公理(P)等价于 $(\forall x)(\forall y){\bigg \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}$ 这样对上式套用两次量词公理的(A4)有 ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$ 这样在有 ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)$ 的前提就有 $(\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$ 所以 ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\vdash (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$ 另一方面，若假设 ${\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ ${\mathcal {M}}(\pi )\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 这样根据逻辑与的直观性质有 $({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ $({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 再根据(A4)有 ${\mathcal {M}}(z)\Rightarrow \{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ ${\mathcal {M}}(z)\Rightarrow \{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 如果再假设 ${\mathcal {M}}(z)$ ，根据MP律有 $(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]$ $(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]$ 这样根据演绎定理的推论(D1)和逻辑与的直观性质有 $(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )$ 也就是说 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi ),\,{\mathcal {M}}(z)\,\vdash \,(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )$ 其中 ${\mathcal {B}}(p):={\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 因为变数 $z$ 在 ${\mathcal {B}}(p)$ 和 ${\mathcal {B}}(\pi )$ 内完全不自由，对上式套用演绎定理(D)将 ${\mathcal {M}}(z)$ 移到右方后，再对 $z$ 套用普遍化会有 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,\vdash \,(\forall ^{M}z)[\,(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )\,]$ 这样根据本条目的外延定理有 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,\vdash \,(p=\pi )$ 那以演绎定理(D)将 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )$ 移到右方，然后接连对 $p$ 和 $\pi$ 使用普遍化有 $\vdash (\forall p)(\forall \pi )[\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\Rightarrow (p=\pi )\,]$ 故本定理得证。$\Box$

这样的话会有

定理 — $\vdash (\exists !p){\bigg \{}\,\{\,\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )\,\}\vee {\big \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}$

证明

根据（P-1）和本条目的特定条件下的存在性(DC)会有 （P-2）$\vdash (\exists p){\bigg \{}\,\{\,\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )\,\}\vee {\big \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}$ 设 ${\mathcal {A}}(p):=\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )$ ${\mathcal {B}}(p):={\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ ${\mathcal {C}}:={\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)$ 那连续套用逻辑与合逻辑或的分配律与逻辑与的交换性会有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Leftrightarrow {\big \{}\,\{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\,\}\vee \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\,{\big \}}$ 但考虑到逻辑与的直观性质和逻辑与的定义有 $\vdash [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\Rightarrow (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})$ $\vdash [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\Rightarrow (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})$ $\vdash (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})\Leftrightarrow \neg ({\mathcal {C}}\Rightarrow {\mathcal {C}})$ 那根据恒等关系$(I)$和常用的推理性质(T)有 $\vdash \neg [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]$ $\vdash \neg [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]$ 所以根据逻辑或的定义来重复使用演绎定理的推论(D1)会有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Leftrightarrow \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}$ 然后从NBG的等式定理会有 $\vdash [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\Rightarrow (p=\pi )$ 另一方面，根据（P-1）有 $\vdash [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\Rightarrow (p=\pi )$ 这样结合逻辑与的(DisJ)有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Rightarrow (p=\pi )$ 再对 $p$ 和 $\pi$ 套用普遍化有 $\vdash (\forall p)(\forall \pi ){\bigg \{}\,\{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Rightarrow (p=\pi )\,{\bigg \}}$ 这样结合刚刚的（P-2）与逻辑与的直观性质，本定理就得证了。$\Box$

所以根据函数符号与唯一性一节，可以在NBG加入新的双元函数符号 $f_{p}^{2}(x,\,y)$（简记为 $\{x,\,y\}$ ）和以下的新公理

$(P^{\prime })$ — 
${\bigg \{}\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (\{x,\,y\}=\varnothing ){\bigg \}}\vee$
${\bigg \{}{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}\left(\{x,\,y\}\right)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \{x,\,y\})\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}{\bigg \}}$

这个新公理的直观意思是“若x和y为集合，则 $\{x,\,y\}$ 就是那个只以x和y为元素的集合；但反之，若x和y不全为集合，则 $\{x,\,y\}$ 为空集”。

有序对

$\{x\}:=\{x,\,x\}$

$\langle x\rangle :=x$

$\langle x,\,y\rangle :=\{\{x\},\,\{x,\,y\}\}$

$\langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n},\,x_{n+1}\rangle :=\langle \langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n}\rangle ,\,x_{n+1}\rangle$

在不跟括弧产生混淆的情况下，也可以把$\langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n},\,x_{n+1}\rangle$记为$(x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n},\,x_{n+1})$。

关系

$Rel(f):=(\forall ^{M}a){\big \{}\,(a\in f)\Rightarrow (\exists x)(\exists y)\{\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge [\,a=(x,\,y)\,]\,\}\,{\big \}}$

类函数

$Fnc(f):=Rel(f)\wedge (\forall ^{M}x)(\forall ^{M}y)(\forall ^{M}\upsilon )\{\,[\,(x,\,y)\in f\wedge (x,\,\upsilon )\in f\,]\Rightarrow (y=\upsilon )\,\}$

类函数跟普通函数的差别在于普通函数是个集合。

类的存在公理

属于类公理

$(K_{\in })$ — $(\exists e)(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)\{[(a,\,b)\in e]\Leftrightarrow (a\in b)\}$

交类公理

$(K_{i})$ — $(\forall x)(\forall y)(\exists i)({\forall }^{M}a)\{(a\in i)\Leftrightarrow [(a\in x)\wedge (a\in y)]\}$

补类公理

$(K_{c})$ — $(\forall x)(\exists c)({\forall }^{M}a)[(a\in c)\Leftrightarrow (a\not \in x)]$

定义域公理

$(K_{D})$ — $(\forall x)(\exists d)(\forall ^{M}a)\{(a\in d)\Leftrightarrow (\exists ^{M}b)[(a,\,b)\in x]\}$

积类公理

$(K_{p})$ — $(\forall x)(\exists p)(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)\{[\,(a,\,b)\in p\,]\Leftrightarrow (a\in x)\}$

置换类公理

$(K_{\sigma 1})$ — $(\forall x)(\exists \sigma )(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)(\forall ^{M}c)\{[(a,\,b,\,c)\in x]\Leftrightarrow [(b,\,c,\,a)\in \sigma ]\}$

$(K_{\sigma 2})$ — $(\forall x)(\exists \sigma )(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)(\forall ^{M}c)\{[(a,\,b,\,c)\in x]\Leftrightarrow [(a,\,c,\,b)\in \sigma ]\}$

类的存在元定理

这个元定理对应到ZFC尔集合论的分类公理。

首先需要递归地定义“可叙述公式”（predicative well-formed formula）：

• 对任意变数 $x$ 和 $y$ ，$x\in y$ 为可叙述公式。
• 若 ${\mathcal {P}}$ 与 ${\mathcal {Q}}$ 为可叙述公式， $x$ 为任意变数，则 $(\neg {\mathcal {P}})$ 、 $({\mathcal {P}}\Rightarrow {\mathcal {Q}})$ 与 $(\forall ^{M}x){\mathcal {P}}$ 都是可叙述公式。

这样依据上列诸类存在公理，就有以下元定理：

类的存在元定理 — 
${\mathcal {P}}$ 为一条只内含变数 $x_{1},\,\dots ,\,x_{n},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{m}$ 的可叙述公式，则有

$\vdash (\exists s)(\forall ^{M}x_{1})\ldots (\forall ^{M}x_{n})[(\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \in s)\Leftrightarrow {\mathcal {P}}]$

证明

集合的公理

并集公理

$(U)$ — $(\forall ^{M}x)(\exists ^{M}u)(\forall ^{M}a)[(a\in u)\Leftrightarrow (\exists ^{M}\xi \in x)(a\in \xi )]$

幂集公理

$(W)$ — $(\forall ^{M}x)(\exists ^{M}w)(\forall ^{M}\xi )\{(\xi \in w)\Leftrightarrow (\xi \subseteq x)\}$

子集公理

$(S)$ — $(\forall ^{M}x)(\forall y)(\exists ^{M}z)(\forall ^{M}a)\{(a\in z)\Leftrightarrow [(a\in x)\wedge (a\in y)]\}$

无穷公理

$(I)$ — $(\exists ^{M}I)\{(\varnothing \in I)\wedge (\forall ^{M}a)[(a\in I)\Rightarrow (a\cap \{a\}\in I)]\}$

取代公理及其替代

$(R)$ — $Fnc(f)\Rightarrow (\forall ^{M}x)(\exists ^{M}r)(\forall ^{M}b){\bigg \{}(b\in r)\Rightarrow (\exists ^{M}a)\{(\langle a,\,b\rangle \in r)\wedge (a\in x)\}{\bigg \}}$

直观意义为“$f$ 为类函数则对任意集合 $x$ ，存在一个集合 $r$ ，正好就是在 $f$ 的规则下映射出的像”。

大小限制公理

• 对于任何类 C，存在一个集合 x 使得 $Rp(C,x)$ （谓 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一样），当且仅当没有在 C 和所有集合的类 V 之间的双射。

这个公理贡献自冯·诺伊曼，并一下实现了分离公理、替代公理和全局选择公理。他效力相当于原始的替代公理加上这选择公理。完全的大小限制公理蕴涵了全局选择公理，因为序数的类不是集合，所以有从序数到全集的双射。

引用

• Bernays, Paul. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. 1991. ISBN 978-0-486-66637-2. 
• John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
• Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.
• Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.
• von Neumann-Bernays-Gödel set theory. PlanetMath.