算符

在物理學領域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子，有別於數學的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在古典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在古典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

古典力學

在古典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)$或哈密頓量${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$決定；其中，$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})$、${\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})$分別是廣義坐標、廣義速度，$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}$是共軛動量，$t$是時間。

假設拉格朗日量${\mathcal {L}}$或哈密頓量${\mathcal {H}}$與某廣義坐標$q_{i}$無關，則當$q_{i}$有所改變時，${\mathcal {L}}$或${\mathcal {H}}$仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於$q_{i}$的共軛動量$p_{i}$守恆。對於廣義坐標$q_{i}$的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在古典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群$G$的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設$S\in G$，

$S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$。

在這案例裏，所有$G$的元素$S$都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管$S$作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」$T_{a}$能夠將粒子從坐標為$q_{i}$移動至坐標為$q_{i}+a$，以方程式表示：

$T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)$；

其中，$f(q_{i})$是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管$T_{a}$的作用，這物理系統的哈密頓量${\mathcal {H}}$是個不變量，對應於坐標$q_{i}$的動量$p_{i}$守恆。

古典力學算符表格

算符	標記	位置	動量
平移算符	$T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
時間演化算符	$U(\Delta t)$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)$
旋轉算符	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
伽利略變換算符	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
宇稱算符	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
時間反演算符	$\Theta$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

• $R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )$是旋轉矩陣，${\hat {\mathbf {n} }}$是旋轉軸向量，$\theta$是旋轉角弧。

生成元概念

對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為

$T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A$；

其中，$I$是「單位算符」──變換群的單位元，$\epsilon$是微小參數，$A$是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符$T_{\epsilon }$作用於函數$f(x)$：

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )$。

由於$\epsilon$很微小，可以泰勒近似$f(x-\epsilon )$為

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)$。

重寫平移算符的方程式為

$T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)$；

其中，導數算符$\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

指數映射

在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做$N$次微小平移變換$T_{a/N}$，來代替一個有限值為$a$的平移變換$T_{a}$ ：

$T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)$。

現在，讓$N$變得無窮大，則因子$a/N$趨於無窮小：

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)$。

這表達式的極限為指數函數：

$T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)$。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：

$T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)$。

這方程式的右手邊可以重寫為

$f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots$。

這正是$f(x-a)$的泰勒級數，也是$T_{a}f(x)$的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代數與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學

在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。

量子算符

假設，物理量$O$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符${\hat {O}}$可能有很多不同的本徵值$O_{i}$與對應的本徵態$|e_{i}\rangle$，這些本徵態$|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$，形成了具有正交歸一性的基底：

$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$；

其中，$\delta _{ij}$是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$；

其中，$c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$是複係數，是在$|e_{i}\rangle$裏找到$|\psi \rangle$的機率幅。

測量這動作將量子態$|\psi \rangle$改變為本徵態$|e_{i}\rangle$的機率為$p_{i}=|c_{i}|^{2}$，測量結果是本徵值$O_{i}$的機率也為$p_{i}$。

期望值

主條目：期望值

在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態$|\psi \rangle$，可觀察量$O$的期望值$\langle O\rangle$定義為

$\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle$；

其中，${\hat {O}}$是對應於可觀察量$O$的算符。

將算符${\hat {O}}$作用於量子態$|\psi \rangle$，會形成新量子態$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle$。

從左邊乘以量子態$\langle \psi |$，經過一番運算，可以得到

$\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量$O$的期望值：

$\langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數$F(O)$的期望值：

$\langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle$。

例如，$F({\hat {O}})$可以是${\hat {O}}^{2}$，即重複施加算符${\hat {O}}$兩次：

$\langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle$。

對易算符

主條目：對易算符

假設兩種可觀察量$A$、$B$的算符分別為${\hat {A}}$、${\hat {B}}$，它們的對易算符定義為

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態$|\psi \rangle$時，會給出

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle$。

假設$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量$O$的期望值是實值：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}$。

對於任意量子態$|\psi \rangle$，這關係都成立：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\hat {O}}^{\dagger }$是${\hat {O}}$的伴隨算符，則$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

矩陣力學

應用基底的完備性，添加單位算符${\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$於算符${\hat {O}}$的兩旁，可以得到

${\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|$；

其中，$O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle$是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：

${\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}$ 。

算符${\hat {O}}$與它的伴隨算符${\hat {O}}^{\dagger }$彼此之間的關係為

$\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}$。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符${\hat {O}}$怎樣作用於量子態$|\psi \rangle$，假設系統因此變換為量子態$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle$。

從左邊乘以本徵態$\langle e_{i}|$，應用基底的完備性，添加單位算符${\hat {I}}$於算符的右邊，可以得到

$\langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle$。

括量$|\phi \rangle$、$|\psi \rangle$分別用豎矩陣來代表

$|\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 、　　　　$|\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 。

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

${\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 。

假設算符${\hat {O}}$是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值$\lambda$：

$\det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0$。

量子算符表格

在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

算符名稱	直角坐標系分量表示	向量表示
位置算符	${\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r}$
動量算符	一般狀況 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$	一般狀況 $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$
	電磁場 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	電磁場（$\mathbf {A}$是磁向量勢） $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$
動能算符	平移運動 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	平移運動 ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}_{x}+{\hat {T}}_{y}+{\hat {T}}_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}}$
	電磁場 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}$	電磁場（$\mathbf {A}$是磁向量勢） ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}$
	旋轉運動（$I$是轉動慣量） ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}$	旋轉運動 ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}$
位能算符	N/A	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)$
總能量算符	N/A	含時位勢： ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ 不含時位勢： ${\hat {E}}=E$
哈密頓算符	N/A	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}$
角動量算符	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$
自旋算符	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ 其中， $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ 是自旋1/2粒子的包立矩陣。	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}$ 其中，向量${\boldsymbol {\sigma }}$的分量是包立矩陣。
總角動量算符	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$
躍遷矩（電） （transition moment）	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=qx\\{\hat {d}}_{y}&=qy\\{\hat {d}}_{z}&=qz\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {r}$

範例

位置算符

主條目：位置算符

只思考一維問題，將位置算符${\hat {x}}$施加於位置本徵態$|x\rangle$，可以得到本徵值$x$，即粒子的位置：

${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$。

由於位置基底具有完整性，${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$，任意量子態$|\psi \rangle$可以按著位置本徵態形成的基底展開：

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

將位置算符${\hat {x}}$施加於量子態$|\psi \rangle$，由於算符${\hat {x}}$只作用於括量$|x\rangle$，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：

${\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

包量$\langle \psi |$與這方程式的內積為

$\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

設定量子態$|\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$。由於位置基底具有完整性，${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$，量子態$\langle \psi |$與$|\alpha \rangle$的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為

$\langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式

$\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle$。

設定量子態$|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$。量子態$|\Psi \rangle$、$|\psi \rangle$的位置空間表現，即波函數，分別定義為

$\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle$、

$\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle$。

兩個波函數$\Psi (x)$、$\psi (x)$之間的關係為

$\Psi (x)=x\psi (x)$。

總結，位置算符${\hat {x}}$作用於量子態$|\psi \rangle$的結果$|\Psi \rangle$，表現於位置空間，等價於波函數$\psi (x)$與$x$的乘積$\Psi (x)$。

動量算符

表現於位置空間，一維動量算符為

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$。

將動量算符${\hat {p}}$施加於量子態$|\psi \rangle$，可以得到類似前一節得到的結果：

$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle$。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態$|\phi \rangle$，可以得到更廣義的結果：

${\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}$ ；

其中，$\phi (x)=\langle x|\phi \rangle$、$\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$分別是量子態$|\phi \rangle$、$|\psi \rangle$表現於位置空間的波函數。

假設$|\psi \rangle$是${\hat {p}}$的本徵態，本徵值為$p$，則可得到

$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle$。

將$|\psi \rangle$改寫為本徵值為$p$的本徵態$|p\rangle$，方程式改寫為

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle$。

這微分方程式的解析解為

$\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }$。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。

參閱

• 有界算符
• 表示論
• 算子