正弦

正弦

性質
奇偶性	奇
定義域	(-∞,∞)
到達域	[-1,1]
周期	$2\pi$ （ $360^{\circ }$ ）
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	$\left(\left(2k+{\tfrac {1}{2}}\right)\pi ,1\right)$ $\left(360^{\circ }k+90^{\circ },1\right)$
最小值	$\left(\left(2k-{\tfrac {1}{2}}\right)\pi ,-1\right)$ $\left(360^{\circ }k-90^{\circ },-1\right)$
其他性質
漸近線	N/A
根	$k\pi$ （ $180^{\circ }k$ ）
臨界點	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （ $180^{\circ }k-90^{\circ }$ ）
拐點	$k\pi$ （ $180^{\circ }k$ ）
不動點	0
k是一個整數。

在數學中，正弦（英語：sine、縮寫 $\sin$ ）是一種週期函數，是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是 $[-1,1]$ 。它是周期函數，其最小正周期為 $2\pi$ （ $360^{\circ }$ ）。在自變量為 ${\frac {(4n+1)\pi }{2}}$ （ $360^{\circ }n+90^{\circ }$ ，其中 $n$ 為整數）時，該函數有極大值1；在自變量為 ${\frac {(4n+3)\pi }{2}}$ （ $360^{\circ }n+270^{\circ }$ ）時，該函數有極小值-1。正弦函數是奇函數，其圖像於原點對稱。

在半個最小正周期內，正弦函數有反函數，稱為反正弦函數。

符號史

正弦的符號為 $\sin$ ，取自拉丁文sinus，詞源是梵文的jiva（「弓弦」，如今多寫作jya）。這個詞在阿拉伯語裡轉寫為jiba（جيب），但該詞無意義，阿拉伯語又好省略元音，故只寫作jb（جب）。然而在從阿拉伯文翻譯到拉丁文時，jb被解釋為jayb（جيب），意為「胸部」或「乳房」，而拉丁文sinus便是克雷莫納的傑拉德由此詞翻譯而來。該符號最早由法國數學家阿爾貝·熱拉爾（Albert Gerard）使用（但他只使用了正弦、餘弦和正切；其餘三個符號則是被歐拉補足的）。

定義

直角三角形中

直角三角形， $\angle C$ 為直角， $\angle A$ 的角度為 $\theta$ ，對於 $\angle A$ 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一個銳角 $\angle A$ 的正弦定義為它的對邊與斜邊的比值，也就是：

\sin \theta ={\frac {\mathrm {a} }{\mathrm {c} }}

其定義與餘割函數互為倒數。

直角坐標系中

設 $\alpha$ 是平面直角坐標系xOy中的一個象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的終邊上一點， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是P到原點O的距離，則 $\alpha$ 的正弦定義為：

\sin \alpha ={\frac {y}{r}}

單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角 $\theta$ ，並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於 $\sin \theta$ 。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了 $\sin \theta ={\frac {y}{1}}$ 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 $2\pi$ 或小於 $-2\pi$ 的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦變成了周期為2π的周期函數：

\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)

對於任何角度 $\theta$ 和任何整數 $k$ 。

級數定義

正弦函數（藍色）的七階泰勒公式（粉色）在以原點為中心的一個周期內緊密地逼近原函數

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

微分方程定義

由於正弦的導數是餘弦，餘弦的導數是負的正弦，因此正弦函數滿足初值問題

y''=-y,\,y(0)=0,\,y'(0)=1

這就是正弦的微分方程定義。

指數定義

正弦函數的指數定義可由歐拉公式導出：

\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,

恆等式

用其它三角函數來表示正弦

函數	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\sin \theta =$	$\sin \theta \$	${\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	${\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	${\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$

兩角和差公式

\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y

\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y

二倍角公式

\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,

三倍角公式

\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,

半角公式

\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}.\,

和差化積公式

\sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)

\sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\theta +\phi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi  \over 2}\right)\;

萬能公式

\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}

含有正弦的積分

\int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx\,\!

\int |\sin x|\;dx=-\cos x\,\!

\int \sin ^{n}{cx}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!

\int \sin ^{2}{cx}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4c}}\sin 2cx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\sin cx\cos cx\!

\int {\sqrt {1-\sin {x}}}\;dx=\int {\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}\,dx=2{\frac {\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}{\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}=2{\sqrt {1+\sin {x}}}

\int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}\,\!

\int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!

\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {\sin cx}{x}}\;dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}\,\!

\int {\frac {\sin cx}{x^{n}}}\;dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx\,\!

\int {\frac {dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|

\int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {dx}{1\pm \sin cx}}={\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)

\int {\frac {x\;dx}{1+\sin cx}}={\frac {x}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|

\int {\frac {x\;dx}{1-\sin cx}}={\frac {x}{c}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)\right|

\int {\frac {\sin cx\;dx}{1\pm \sin cx}}=\pm x+{\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {cx}{2}}\right)

\int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}-{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(for }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}\,\!

特殊值

徑度	$0$	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
sin	$0$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$