牛頓運動定律

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小則用

r\,\!

來表示。

牛頓運動定律（英語：Newton's laws of motion）描述施加於物體的外力與物體所呈現出的運動彼此之間的關係。^[1]這定律被譽為古典力學的基礎，是英國物理泰斗艾薩克·牛頓所提出的三條運動定律的總稱。這定律的現代版本通常表述為^[2]^[3]

第一定律：假若施加於某物體的外力為零，則該物體的運動速度不變（慣性定律）
第二定律：施加於物體的外力等於此物體的質量與加速度的乘積（加速度定律）
第三定律：當兩個物體交互作用於對方時，彼此施加於對方的力，其大小相等、方向相反（作用力與反作用力定律）

牛頓在發表於1687年7月5日的巨著《自然哲學的數學原理》裏提出這三條定律。^[4]他將先前伽利略·伽利萊、克里斯蒂安·惠更斯等等物理大師想出的一些動力學原理整理並發展成為這三條精練簡要的定律。^[5]牛頓應用這些定律來分析各種各樣的動力學運動。例如，牛頓應用這些定律與牛頓萬有引力定律來解釋克卜勒行星運動定律。^[6]

概述

在應用牛頓運動定律之前，必需先將物體理想化為質點^{[註 1]}。在物理學裡，質點又可稱為粒子，是被理想化成為一個只具有質量，不具有結構的物體。質點只能夠進行平移運動，自由度為3。當與分析所涉及的距離相比較，物體的尺寸顯得很微小，或者，當只考慮物體受的外力，而物體本身的內部結構、形變、旋轉、溫度等對於分析並不重要，對於這兩類案例，質點模型適用。舉例而言，在計算棒球的飛行軌道時，可以將棒球理想化為質點，在分析行星環繞恆星的軌道運動時，行星與恆星都可以被理想化為質點。^[8]^[9]

原初版本的牛頓運動定律只適用於描述質點的動力學，不具有足夠功能來描述剛體與可變形體的運動。1750年，歐拉在牛頓運動定律的基礎上，推導出能夠應用於剛體的歐拉運動定律。後來，這定律又被應用於假定為連續介質的可變形體。^[10]^[11]假若物體被視為一群離散質點的組合，而其中每一個質點都遵守牛頓運動定律，則可以從牛頓運動定律推導出歐拉運動定律。可是，歐拉運動定律也可以直接被視為描述大塊物體運動的公理，完全不涉及到物體的內部結構。^[12]

牛頓運動定律只成立於慣性參考系，又稱為牛頓參考系。有些學者喜歡用第一定律來定義慣性參考系。假若採用這觀點，則由於只有從慣性參考系觀察，第二定律才成立，所以，不能從第二定律以特例的方式來推導出第一定律。另外又有一些學者青睞將第一定律視為第二定律的推論，而第二定律則是力的定義。^[13]^[14]

在整個牛頓運動定律裡，力的概念扮演不可或缺的角色。第一定律聚焦於在零外力狀況下物體的運動狀態。第二定律探討在各種不同外力作用下物體的運動狀態。第三定律描述從物體與物體之間因交互作用而產生的力所具有的性質。^[15]

牛頓第一運動定律

又稱「慣性定律」（law of inertia）^[16]。牛頓第一定律表明，假若施加於某物體的外力為零，則該物體的運動速度不變。速度是向量，速度包括了運動的大小與方向。以方程式表達，^[2]

\sum _{i}\mathbf {F} _{i}=0\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=0

；

其中， $\mathbf {F} _{i}$ 是第 $i$ 個外力， $\mathbf {v}$ 是速度， $t$ 是時間。

根據這定律，

靜止的物體會保持靜止，直到有外力施加於這物體為止。
運動中的物體會維持其運動速度的大小與方向，直到有外力施加於這物體為止。

根據第一定律，從測量物體的運動速度是否改變，可以判斷是否有外力作用於物體。^[17]注意到上述句子並未對於力給出嚴格定義，這可以用操作定義的方法來完成。兩個同樣的彈簧，假若被壓縮同樣的距離，則其各自產生的「彈力」（一種物理現象）必定相等。將這兩個彈簧並聯，可以產生兩倍的彈力。將一物體的兩邊分別連接這兩個彈簧的末端，使彈力的作用方向相反，則作用於物體的淨力為零。為了對於彈力給出定量描述，設定「標準單位力」為某特定彈簧壓縮特定距離所產生的彈力。任意數量的標準單位力都可以用幾個彈簧所組成的系統來實現。彈簧系統這可以用來做測量實驗，對於任意力給予比較，給出它的測量值。^[13]

在做實驗驗證第一定律之時，必須測量速度與時間，這涉及到參考系的設定。因此，可以更詳細地將第一定律表明為^[18]

採用某種參考系來做測量，假若施加於一個物體的外力為零，則該物體的運動速度不變。

在宇宙中，存在著無數可能的參考系，在這些參考系中，滿足第一定律的參考系稱為「慣性參考系」，而其它不滿足第一定律的參考系稱為「非慣性參考系」。從觀察不受力物體的行為，就可以辨別出哪種是慣性參考系，哪種不是慣性參考系。因此，在本章節論述裡，第一定律可以被視為慣性參考系的定義。牛頓在《自然哲學的數學原理》裏採用就是這種詮釋。^[13]

還有其它種詮釋，例如，克希荷夫詮釋、愛因斯坦詮釋等等。更多內容，請點閱條目牛頓第一運動定律。

牛頓第二運動定律

牛頓第二定律表明，施加於物體的外力等於質量與加速度的乘積。這定律又稱為「加速度定律」。以方程式表達，^[19]

\mathbf {F} =m\mathbf {a}

；

其中， $\mathbf {F}$ 是外力， $m$ 是質量， $\mathbf {a}$ 是加速度。

第二定律也可以用動量來表明，即施加於物體的外力等於動量的變率：

\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}

；

其中， $\mathbf {p}$ 是動量， $t$ 是時間。

由於動量等於質量乘以速度，所以，假若質量不變，則可得到加速度定律，假若質量隨著時間流易而改變，則該系統為可變質量系統，必須將時變質量納入考量，更多內容，請參閱可變質量系統。

假設施加外力於某物體，則由於該物體的加速度只與外力、質量有關，在任何狀況下，質量不變的物體都會表現出同樣的加速度：^{[註 2]}

\mathbf {a} =\mathbf {F} /m

。

採用國際標準制，力、加速度、質量的單位分別規定為牛頓（N）、公尺每秒平方（m/s²），公斤（kg）。施加1牛頓的力於質量為1公斤的物體，則使此物體的加速度為1m/s²。也就是說，^[20]

1\mathrm {N} =1\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}

。

牛頓第三運動定律

牛頓第三定律表明，當兩個物體交互作用時，彼此施加於對方的力，其大小相等、方向相反。根據第三定律，力是物體與物體之間的交互作用，力必會成雙結對地出現，其中一道力稱為「作用力」，而另一道力則稱為「反作用力」。^{[註 3]}這兩道力的大小相等、方向相反。在這兩道力之間，任何一道力都可以被稱為作用力，而其對應的力自然成為伴隨的反作用力。這成對的作用力與反作用力稱為「配對力」。第三定律又稱為「作用與反作用定律」。^[22]

第三定律以方程式表達為

\sum \mathbf {F} _{A,B}=-\sum \mathbf {F} _{B,A}

；

其中， $\mathbf {F} _{A,B}$ 是物體B施加於物體A的力， $\mathbf {F} _{B,A}$ 是物體A施加於物體B的力。

牛頓定律適用範圍

在過去兩百年中，物理學者完成了很多個檢驗核對牛頓運動定律的實驗與觀測，對於一般的狀況，牛頓定律能夠計算出很好的近似結果。牛頓定律、牛頓萬有引力定律、微積分數學方法，這些理論從所未有地對於各種各樣的物理現象給出了一致的定量解釋。

對於某些狀況，牛頓運動定律並不適用，這時候需要更進階的物理理論。超高速或非常強烈重力場的狀況下，我們需要相對論修正和解釋一些天體運動和現象，例如黑洞。在原子尺寸，我們需要量子力學解釋原子的發射光譜等物理現象。但是現代工程學裏，對於一般應用案例，像車輛或飛機的運動，牛頓運動定律已能準確地解釋和計算工程師遇到的問題。所以，牛頓運動定律仍是中學物理科、大學工程和理科學生的必修和基礎部份。

假若要將狹義相對論效應納入考量，則必須修改第二定律。因為當速度接近光速時，物體受到的淨外力就不能精確地表示為靜質量與加速度的乘積了。詳盡細節，請參閱條目四維力。第三定律也不適用於狹義相對論，這是因為同時性之相對性無法實現於第三定律。對於不是直接互相接觸，而是相隔有限距離的兩個物體，第三定律假定物體與物體之間的作用為瞬時的超距作用。假設互相作用的兩個物體相隔一段距離，從參考系A觀測，在時間 $t$ ，兩個物體彼此施加於對方的力分別為 $\mathbf {F} (t)$ ， $-\mathbf {F} (t)$ 。但是從另外一個以相對速度 $\mathbf {v} \neq 0$ 的參考系B觀測，這兩個力的施加的時間不同，所以，第三定律不成立，需要加以修改。

與守恆定律之間的關係

在現代物理學裏，動量、角動量、能量的守恆定律比牛頓定律更為基礎，因為這些守恆定律既適用於光波，也適用於物質，既適用於古典物理，也適用於非古典物理。這些守恆定律表明，在一個物理系統裏，

動量不能憑空生成或湮滅。
角動量不能憑空生成或湮滅。
能量不能憑空生成或湮滅。

由於力是動量對於時間的導數，與動量守恆的概念相比，力的概念顯得多餘與次要。量子力學、量子電動力學、廣義相對論等等，這些現代物理基礎理論都沒有使用到力的概念。根據標準模型，電磁力、弱核力、強核力，這三種稱為規範力的基礎力，可以解釋為虛粒子的交換^[23]。

參閱

註釋

^ [...]牛頓在使用物體這術語時，並沒有給予嚴格定義，而萊昂哈德·歐拉則察覺，只有當物體的質量都集中於孤獨一點之時，牛頓的語句通常才會正確無誤，歐拉因此引入了質點的概念。^[7]
^ 按照狹義相對論，加速度與物體的速度有關，因為，在高速度狀況下，物體的質量與速度有關：^[19]
$m(v)={\frac {m_{0}}{(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}}}$ ；

其中， $m(v)$ 是物體的質量， $m_{0}$ 是靜質量， $v$ 是物體的速度， $c$ 是光速。
^ 牛頓在《自然哲學的數學原理》裏表明，並不是太陽用一道作用力吸引木星，木星又用另一道作用力吸引太陽，而是太陽與木星彼此用一道作用力相互吸引靠近對方。^[21]

參考文獻

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外部連結

麻省理工學院物理影音講課：牛頓定律。
第一定律的電腦模擬（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

[8] [...]牛頓在使用物體這術語時，並沒有給予嚴格定義，而萊昂哈德·歐拉則察覺，只有當物體的質量都集中於孤獨一點之時，牛頓的語句通常才會正確無誤，歐拉因此引入了質點的概念。^[7]

[21] 按照狹義相對論，加速度與物體的速度有關，因為，在高速度狀況下，物體的質量與速度有關：^[19]
$m(v)={\frac {m_{0}}{(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}}}$ ；

其中， $m(v)$ 是物體的質量， $m_{0}$ 是靜質量， $v$ 是物體的速度， $c$ 是光速。

[24] 牛頓在《自然哲學的數學原理》裏表明，並不是太陽用一道作用力吸引木星，木星又用另一道作用力吸引太陽，而是太陽與木星彼此用一道作用力相互吸引靠近對方。^[21]

[1] Newton's laws of motion. Encyclopedia Britannica. [2018-12-29]. （原始內容存檔於2021-03-28）. relations between the forces acting on a body and the motion of the body

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[26] 史蒂芬·霍金，《時間簡史》，第5章.

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[註 3]

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閱論編古典力學
表述形式	向量力學分析力學（拉格朗日力學哈密頓力學）
基礎概念	空間時間速度加速度質量重力力矩參考系力力偶衝量動量剛體角動量慣性轉動慣量能量動能位能虛功作用量拉格朗日量哈密頓量功
重要理論	牛頓運動定律虎克定律牛頓萬有引力定律簡諧運動達朗貝爾原理歐拉方程式哈密頓原理拉格朗日方程式最小作用量原理
應用	簡單機械斜面槓桿滑輪螺旋楔子輪軸
科學史	發展史克卜勒牛頓歐拉達朗貝爾哈密頓赫茲拉格朗日拉普拉斯伽利略雅可比諾特
分支	靜力學動力學運動學工程力學天體力學連續介質力學統計力學

閱論編艾薩克·牛頓爵士
科學著作	《流數法》（1671）《物體在軌道中之運動（英語：De motu corporum in gyrum）》（1684）《自然哲學的數學原理》（1687）《光學（英語：Opticks）》（1704）《The Queries（英語：The Queries）》（1704）《廣義算術（英語：Arithmetica Universalis）》（1707）《用無窮級數做數學分析（英語：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas）》（1711）
其它著作	《若干哲學問題（英語：Quaestiones quaedam philosophicae）》（1661–1665）《站在巨人的肩膀上（英語：standing on the shoulders of giants）》（1675）《Notes on the Jewish Temple（英語：Notes on the Jewish Temple）》（約1680）《總釋（英語：General Scholium）》（1713；《不作假設（英語：hypotheses non fingo）》）《古王國年表，修訂（英語：The Chronology of Ancient Kingdoms Amended）》（1728）《兩處著名聖經訛誤的歷史變遷（英語：An Historical Account of Two Notable Corruptions of Scripture）》（1754）
貢獻	微積分學流數衝擊深度慣性牛頓色環（英語：Newton disc）牛頓多邊形（英語：Newton polygon）牛頓–奧昆科夫體（英語：Newton–Okounkov body）牛頓反射望遠鏡（英語：Newton's reflector）牛頓望遠鏡牛頓溫標牛頓合金（英語：Newton's metal）光學頻譜結構色
牛頓主義（英語：Newtonianism）	水桶實驗（英語：Bucket argument）牛頓不等式冷卻定律萬有引力定律後牛頓力學近似方法後牛頓形式論萬有引力常數牛頓–嘉當理論（英語：Newton–Cartan theory）薛丁格-牛頓方程式牛頓運動定律第一定律第二定律第三定律克卜勒定律牛頓動力學（英語：Newtonian dynamics）應用於最優化的牛頓法阿波羅尼斯問題截斷牛頓法（英語：truncated Newton method）高斯牛頓算法（英語：Gauss–Newton algorithm）牛頓環牛頓橢圓定理（英語：Newton's theorem about ovals）牛頓-皮普斯問題牛頓位（英語：Newtonian potential）牛頓流體古典力學光的微粒理論牛頓與萊布尼茨的微積分學論戰（英語：Leibniz–Newton calculus controversy）牛頓記法（英語：Newton's notation）旋轉球體（英語：Rotating spheres）牛頓大炮牛頓-寇次公式牛頓法廣義高斯-牛頓法（英語：generalized Gauss–Newton method）牛頓碎形牛頓恆等式牛頓多項式牛頓旋轉軌道定理牛頓-歐拉方程式（英語：Newton–Euler equations）牛頓數吻球數問題（英語：Kissing number）牛頓商（英語：Difference quotient）力的平行四邊形（英語：Parallelogram of force）牛頓-皮瑟理論（英語：Puiseux series）絕對時空以太牛頓級數列表（英語：Table of Newtonian series）功率數
個人	伍爾索普莊園（出生地） Cranbury Park（英語：Cranbury Park）（成長地）早年生活（英語：Early life of Isaac Newton）晚年生活（英語：Later life of Isaac Newton）蘋果樹（英語：Isaac Newton's apple tree）宗教思想（英語：Religious views of Isaac Newton）神秘學研究（英語：Isaac Newton's occult studies）科學革命哥白尼革命
人際關係	凱瑟琳·巴頓（英語：Catherine Barton）（侄女）約翰·孔杜伊特（英語：John Conduitt）（姪女婿）艾薩克·巴羅（指導教授）威廉·克拉克（英語：William Clarke (apothecary)）（指導者） Benjamin Pulleyn（英語：Benjamin Pulleyn）（導師）約翰·基爾（英語：John Keill）（徒弟）威廉・斯圖凱利（英語：William Stukeley）（好友）威廉·瓊斯（好友）亞伯拉罕·棣美弗（好友）勞勃·虎克（仇敵）
描繪（英語：Isaac Newton in popular culture）	《牛頓》（單版畫）《牛頓（英語：Newton (Paolozzi)）》（雕塑）《艾薩克·牛頓雨漏（英語：Isaac Newton Gargoyle）》《天文學家紀念碑（英語：Astronomers Monument）》
相關（英語：List of things named after Isaac Newton）	牛頓 (單位) 牛頓擺艾薩克·牛頓研究所（英語：Isaac Newton Institute）艾薩克·牛頓獎章艾薩克·牛頓望遠鏡艾薩克·牛頓望遠鏡組（英語：Isaac Newton Group of Telescopes） XMM-牛頓衛星施密特-牛頓望遠鏡艾薩克·牛頓爵士大學預科學校（英語：Sir Isaac Newton Sixth Form）艾薩克·牛頓斯塔塔爾高等教育學院（英語：Statal Institute of Higher Education Isaac Newton）牛頓國際獎學金（英語：Newton International Fellowship）
分類	艾薩克·牛頓