扭棱四角反角柱

**扭棱四角反角柱**
类别	约翰逊多面体 ; J84 - J85 - J86
识别
名称	扭棱四角反角柱
参考索引	J85
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snisquap
数学表示法
施莱夫利符号	ss{2,8}
性质
面	26
边	40
顶点	16
欧拉特征数	F=26, E=40, V=16 （χ=2）
组成与布局
面的种类	8+16个三角形 ; 2个正方形
顶点图	8个(35) ; 8个(34.4)
对称性
对称群	D4v群
特性
	凸多面体
图像
	; （展开图）
	查; 论; 编;

扭棱四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是约翰逊多面体的其中一个，其所引为J₈₅^[1]。它无法由帕雷托立体（正多面体）和阿基米得立体（半正多面体）经过切割、增补而得来。扭棱四角反角柱是约翰逊多面体中的基本立体之一。约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名并给予描述^[2]。

性质[编辑]

扭棱四角反角柱共由26个面、40条边和16顶点所组成^[3]^[4]^[5]。在其26个面中，有24个三角形和2个正方形^[3]。在其16个顶点中，有8个顶点是5个三角形的公共顶点^[5]，在顶点图中可以用[3⁵]来表示^[6]、另外8个顶点是4个三角形和1个正方形的公共顶点^[5]，在顶点图中可以用[3⁴,4]来表示^[6]。

构造[编辑]

形如其名地，扭棱四角反角柱可以透过将四角反角柱套用扭棱变换来构造。在施莱夫利符号中可以表示为ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱^[7]，其中的扭棱是考克斯特扭棱；而在康威扭棱中，扭棱四角反角柱可以透过将四角锥套用康威扭棱来构造，在康威多面体表示法中可以表示为sY4^[8]。

体积与表面积[编辑]

若一个扭棱四角反角柱边长为 $a$ ，则其表面积 $A$ 为：^[9]

A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},

^[10]

而其体积 $V$ 为：

V=\xi a^{3},

其中 $\xi \approx 3.60122$ 是下列多项式的最大实根：

531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.

^[11]

顶点座标[编辑]

令 $k$ 为下列三次式的正实根，约为 $k\approx 0.82354$ ：

9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.

和h约为 $h\approx 1.35374$ ：

h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.

则边长为2的扭棱四角反角柱的顶点座标由下列顶点的轨道的并集在绕z轴旋转90°和绕垂直于z轴并与x轴夹角22.5°的直线旋转180°所产生的空间对称群之群作用下给出：^[12]

(1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)

扭棱反角柱[编辑]

类似的造方式之多面体还有扭棱三角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,6}）为经过扭棱变换的三角反角柱（可以视为一个对称性较低的正八面体），其结果为伪二十面体（可以视为一个对称性较低的正二十面体）。另一个为扭棱五角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,10}）甚至是更高边数的扭棱反角柱，但其结果不会是由正三角形构成的凸多面体。边数更少的扭棱二角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,4}）对应另一个约翰逊多面体——扭棱锲形体，但必须在二角反角柱中保留两个退化的对角面（以红色绘制）。这些都可以视为一系列扭棱反角柱无穷序列的一项。^[7]

扭棱反角柱
对称性	D_2d, [2⁺,4], (2*2)	D_3d, [2⁺,6], (2*3)	D_4d, [2⁺,8], (2*4)	D_5d, [2⁺,10], (2*5)
反角柱	s{2,4} A2 （顶点：4、边：8、面：6）	s{2,6} A3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（顶点：6、边：12、面：8）	s{2,8} A4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（顶点：8、边：16、面：10）	s{2,10} A5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（顶点：10、边：20、面：12）
截角反角柱	ts{2,4} tA2 （顶点：16、边：24、面：10）	ts{2,6} tA3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（顶点：24、边：36、面：14）	ts{2,8}（英语：truncated square antiprism） tA4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（顶点：32、边：48、面：18）	ts{2,10} tA5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（顶点：40、边：60、面：22）
对称性	D₂, [2,2]⁺, (222)	D₃, [3,2]⁺, (322)	D₄, [4,2]⁺, (422)	D₅, [5,2]⁺, (522)
扭棱反角柱	J84	二十面体	J85	凹
		sY3 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA3	sY4 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA4	sY5 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA5
	ss{2,4} （顶点：8、边：20、面：14）	ss{2,6} （顶点：12、边：30、面：20）	ss{2,8} （顶点：16、边：40、面：26）	ss{2,10} （顶点：20、边：50、面：32）

参见[编辑]

参考文献[编辑]

^ Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
^ ^3.0 ^3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-09）.
^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.
^ ^6.0 ^6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-01-25）.
^ ^7.0 ^7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-03-27）.
^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-03-10）.
^ Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"]
^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x]
^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.

外部链接[编辑]

[mathworld-3] Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[4] Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8

[dmccooey-5] 3.0 ^3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-09）.

[6] The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.

[polyhedra.tessera.li-7] 5.0 ^5.1 ^5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.

[Richard_Klitzing-8] 6.0 ^6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-01-25）.

[Snub_Anti-Prisms-9] 7.0 ^7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-03-27）.

[10] PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-03-10）.

[SW-11] Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.

[12] Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"]

[13] Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x]

[14] Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.

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