薛定谔绘景

埃尔温·薛定谔

薛定谔绘景（Schrödinger picture）是量子力学的一种表述，为纪念物理学者埃尔温·薛定谔而命名。在薛定谔绘景里，量子系统的态向量随着时间流易而演化，而像位置、自旋一类的对应于可观察量的算符则与时间无关。

薛定谔绘景与海森堡绘景、狄拉克绘景不同。在海森堡绘景里，对应于可观察量的算符会随着时间流易而演化，而描述量子系统的态向量则与时间无关。在狄拉克绘景里，态向量与算符都会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理现象。

在薛定谔绘景里，负责时间演化的算符是一种幺正算符，称为时间演化算符。假设时间从$t_{0}$流易到$t$，而经过这段时间间隔，态向量$|\psi (t_{0})\rangle$演化为态向量$|\psi (t)\rangle$，这时间演化过程以方程表示为

$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$；

其中，$U(t,t_{0})$是时间演化算符。

假设系统的哈密顿量$H$不含时，则时间演化算符为

$U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }$；

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，指数函数$e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }$必须通过其泰勒级数计算。

在初级量子力学教科书里，时常会使用薛定谔绘景。

时间演化算符

定义

时间演化算符$U(t,\,t_{0})$定义为

$|\psi (t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$；

其中，右矢$|\psi (t)\rangle$表示时间为$t$的态向量，$U(t,\,t_{0})$是时间演化算符，从时间$t$演化到时间$t_{0}$。

这方程可以做这样解释：将时间演化算符$U(t,\,t_{0})$作用于时间是$t_{0}$的态向量$|\psi (t_{0})\rangle$，则会得到时间是$t$的态向量$|\psi (t)\rangle$。

类似地，也可以用左矢$\langle \psi |$来定义：

$\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})$；

其中，算符$U^{\dagger }$是算符$U$的厄米共轭。

性质

幺正性

由于态向量必须满足归一条件，态向量的范数不能随时间而变：

$\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

可是，

$\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

所以，

$U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})=I$ ;

其中，$I$是单位算符。

单位性

时间演化算符$U(t_{0},\,t_{0})$必须是单位算符$U(t_{0},\,t_{0})=I$，因为，

$|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

闭包性

从初始时间$t_{0}$到最后时间$t$的时间演化算符，可以视为从中途时间$t_{1}$到最后时间$t$的时间演化算符，乘以从初始时间$t_{0}$到中途时间$t_{1}$的时间演化算符：

$U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})$。

根据时间演化算符的定义，

$|\psi (t_{1})\rangle =U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$，

$|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})|\psi (t_{1})\rangle$。

所以，

$|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

可是，再根据定义，

$|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

所以，时间演化算符必须满足闭包性：

$U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})$。

时间演化算符的微分方程

为了方便起见，设定$t_{0}=0$，初始时间$t_{0}$永远是$0$，则可忽略时间演化算符的$t_{0}$参数，改写为$U(t)$。含时薛定谔方程为

$i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle$；

其中，$H$是哈密顿量。

从时间演化算符的定义式，可以得到

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle$。

由于$|\psi (0)\rangle$可以是任意恒定态向量（处于$t=0$的态向量），时间演化算符必须遵守方程

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)$。

假若哈密顿量不含时，则这方程的解答为

$U(t)=e^{-iHt/\hbar }$。

注意到在时间$t=0$，时间演化算符必须约化为单位算符$U(0)=I$。由于$H$是算符，指数函数$e^{-iHt}$必须通过其泰勒级数计算：

$e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots$。

按照时间演化算符的定义，在时间$t$，态向量为

$|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle$。

注意到$|\psi (0)\rangle$可以是任意态向量。假设初始态向量$|\psi (0)\rangle$是哈密顿量的本征态，而本征值是$E$，则在时间$t$，态向量为

$|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle$。

这样，可以看到哈密顿量的本征态是定态，随着时间的流易，只有相位因子在进行演化。

假设，哈密顿量与时间有关，但在不同时间的哈密顿量相互对易，则时间演化算符可以写为

$U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)$。

假设，哈密顿量与时间有关，而在不同时间的哈密顿量不相互对易，则时间演化算符可以写为

$U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)$；

其中，$T$是时间排序算符。

必须用戴森级数来表示，

$U(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int _{0}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})\dots H(t_{n})$。

各种绘景比较摘要

为了便利分析，位于下标的符号${\mathcal {H}}$、${\mathcal {I}}$、${\mathcal {S}}$分别标记海森堡绘景、相互作用绘景、薛定谔绘景。

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化：

演化	海森堡绘景	相互作用绘景	薛定谔绘景
右矢	常定	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}$	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$
可观察量	$A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }$	$A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }$	常定
密度算符	常定	$\rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}t/\hbar }$	$\rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }$

参阅

• 哈密顿-亚可比方程

参考文献

• Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics 2. Springer. 1994. ISBN 978-0306447907.