质数间隙

质数间隙的频率分布。

质数间隙是指两个相邻质数间的差值。第n个质数间隙，标记为g_n 或g(p_n)，指第n个质数和第n+1个质数间的差值，即

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\$

可知，g₁ = 1、g₂ = g₃ = 2，以及g₄ = 4。由质数间隙组成的数列(g_n) 已被广泛地研究，但仍有许多问题及猜想尚未获得解答。

前30个质数间隙为：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 A001223.

由g_n 的定义，可得g_n 及第n+1个质数的关系式如下：

$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}$ .

张益唐在2013年证明：存在有无限多对质数，其间隙小于七千万；之后于同年十一月，詹姆斯·梅纳德用精进版的GPY筛法将间隙改进至600，而由陶哲轩发起的Polymath计画将这数字降到246。

简单观察

第1个、最小，且唯一为奇数的质数间隙为1，是在“唯一一个偶质数2”与“第一个奇质数3”之间的质数间隙。剩下的其他质数间隙均为偶数。在3个相邻的质数间的1对质数间隙均为质数，只有在质数3、5及7之间的g₂ 及g₃ 一种而已。

对任一质数P，可定义一质数乘积P#，为所有小于等于P的质数之乘积。若Q为P之后的质数，则数列

$P\#+2,P\#+3,\ldots ,P\#+(Q-1)$

为由相邻的Q-2个合数组成的数列，亦即存在一个长度至少为Q-1的质数间隙。因此，质数间的间隙可以是任意大的，亦即对任一质数P，总存在一个整数n，使得g_n ≥ P。（可选定n，使得p_n为小于P# + 2 的最大质数）另外，依据《质数定理》，质数的密度会随著数值增大而趋近于0，亦可知存在任意大的质数间隙。实际上，依《质数定理》，P# 的值约略为 exp(P)的大小，且于 exp(P)附近，相邻质数的“平均”间隙为 P。

实际上，质数间隙为P 的数可能会远小于P#。例如，由71个相邻合数组成的最小数列介于31398至31468间，但71#有“27个数位”，其完整的十进位表示为 557940830126698960967415390。

孪生质数猜想主张存在无限多个整数n，使得 g_n = 2。

另见

• Bonse不等式
• Interprime
• Gaussian moat
• 孪生质数

• 孪生质数猜想

参考资料

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 

外部链接

• Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
• 埃里克·韦斯坦因. Prime Difference Function. MathWorld. 
• Prime Difference Function. PlanetMath. 
• Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture （页面存档备份，存于互联网档案馆）, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes （页面存档备份，存于互联网档案馆）; an elementary introduction
• www.primegaps.com （页面存档备份，存于互联网档案馆） A study of the gaps between consecutive prime numbers
• Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length （页面存档备份，存于互联网档案馆）; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.