質數間隙

質數間隙的頻率分布。

質數間隙是指兩個相鄰質數間的差值。第n個質數間隙，標記為g_n 或g(p_n)，指第n個質數和第n+1個質數間的差值，即

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\$

可知，g₁ = 1、g₂ = g₃ = 2，以及g₄ = 4。由質數間隙組成的數列(g_n) 已被廣泛地研究，但仍有許多問題及猜想尚未獲得解答。

前30個質數間隙為：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 A001223.

由g_n 的定義，可得g_n 及第n+1個質數的關係式如下：

$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}$ .

張益唐在2013年證明：存在有無限多對質數，其間隙小於七千萬；之後於同年十一月，詹姆斯·梅納德用精進版的GPY篩法將間隙改進至600，而由陶哲軒發起的Polymath計畫將這數字降到246。

簡單觀察

第1個、最小，且唯一為奇數的質數間隙為1，是在「唯一一個偶質數2」與「第一個奇質數3」之間的質數間隙。剩下的其他質數間隙均為偶數。在3個相鄰的質數間的1對質數間隙均為質數，只有在質數3、5及7之間的g₂ 及g₃ 一種而已。

對任一質數P，可定義一質數乘積P#，為所有小於等於P的質數之乘積。若Q為P之後的質數，則數列

$P\#+2,P\#+3,\ldots ,P\#+(Q-1)$

為由相鄰的Q-2個合數組成的數列，亦即存在一個長度至少為Q-1的質數間隙。因此，質數間的間隙可以是任意大的，亦即對任一質數P，總存在一個整數n，使得g_n ≥ P。（可選定n，使得p_n為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨著數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為 P。

實際上，質數間隙為P 的數可能會遠小於P#。例如，由71個相鄰合數組成的最小數列介於31398至31468間，但71#有「27個數位」，其完整的十進位表示為 557940830126698960967415390。

孿生質數猜想主張存在無限多個整數n，使得 g_n = 2。

另見

• Bonse不等式
• Interprime
• Gaussian moat
• 孿生質數

• 孿生質數猜想

參考資料

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 

外部連結

• Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
• 埃里克·韋斯坦因. Prime Difference Function. MathWorld. 
• Prime Difference Function. PlanetMath. 
• Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）; an elementary introduction
• www.primegaps.com （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） A study of the gaps between consecutive prime numbers
• Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.