反正割 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Arcsec.svg/220px-Arcsec.svg.png) |
性質 |
奇偶性 | 非奇非偶 |
定義域 | [1] |
到達域 | ![{\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8409f3d648246c86a8e276b7d43e5247e1a11868)
|
周期 | N/A |
特定值 |
當x=0 | 不存在[註 1] |
當x=+∞ | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
當x=-∞ | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
當x=1 | 0 |
當x=-1 | ![{\displaystyle \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a) (180°) |
其他性質 |
漸近線 | ![{\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e87ca1ef270affbc8230d1a1b4a0e11fa7c2ac) (y=90°) |
反正割(英語:arcsecant[3]、記為:
或
)是一種反三角函數[4],對應的三角函數為正割函數,用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數,是高等數學中的一種基本特殊函數,其輸入值與反餘弦互為倒數。
由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係,所以不存在反函數,但我們可以限制其定義域,因此,反正割是單射也是可逆的,由於限制正割函數的定義域在
([0, 180°])時,其值域是全體實數,但在區間
不存在。
反正割一般記為
[5]或
[6][7][8][9],以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z[10]和Sec-1 z一般用於表示多值函數[6]。在符號
上的上標-1是表示反函數,而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為
,因為
可能會與
混淆,
是餘弦函數。
原始的定義是將正割函數限制在
([0, 180°])的反函數
在複變分析中,反正割是這樣定義的:
![{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db72622481c5ba220f46f7c4a3100409160dbf6)
這個動作使反正割被推廣到複數。
下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形,可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。
拓展到複數的反正割函數
在直角三角形中,反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的
的大小,也就是:
![{\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79a73fb8cc56d8fdba22ecc9663a821fcf3d7a2)
此外在直角三角形中,若已知斜邊為
且鄰邊為單位長,
代入反正割可求得對應的角的大小:
![{\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16081e662b8761aecfd6b230421ebb55c043ed5)
因此,根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示:
![{\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbce032133bca9e8dafce265c1d6899eaed69fa)
![{\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0040c47bc0f30ede745dd69cbba3f7617903de2e)
![{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd4e1be74accd58745afbe540cb3eb7375a0cde)
若
是平面直角坐標系xOy中的一個未知的象限角,
是角的終邊上一點,
是P到原點O的距離,若已知
,則可利用反正割求得未知的象限角
:
![{\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9551ce12ef1ed7505e944522c63d0c22917576b5)
反正割函數可以使用無窮級數定義:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64761e73f4238c32bdd180b393f18cfc458298fa)
反正割函數的泰勒展開式為:
![{\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48393d92a4fee580f92249a0450b17217d5dbfe)
- ^ 由於反正割在x=0未定義,因此考慮複變反正割函數,[2]但由在x=0時於左極限不等於右極限,因此也不存在極限因此Arcsec 0不存在。
- ^ Weisstein, Eric W. "Inverse Secant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ 反正割在x=0的極限 wolframalpha.com [2014-08-08]
- ^ 反正割arcsecant-學術名詞資訊 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) 國家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
- ^ Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
- ^ Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
- ^ 6.0 6.1 Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
- ^ Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.
- ^ Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000.
- ^ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
- ^ Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.