反正割

反正割
性质
奇偶性	非奇非偶
定义域	$\left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}$
到达域	$\left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}$ $\left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq 90^{\circ }\right\}$
周期	N/A
特定值
当x=0	不存在
当x=+∞	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
当x=-∞	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
当x=1	0
当x=-1	$\pi$ （180°）
其他性质
渐近线	$y={\frac {\pi }{2}}$ （y=90°）

反正割（英语：arcsecant、记为：$\operatorname {arcsec}$或$\sec ^{-1}$）是一种反三角函数，对应的三角函数为正割函数，用来计算已知斜边与邻边的比值求出其夹角大小的函数，是高等数学中的一种基本特殊函数，其输入值与反余弦互为倒数。

由于正割函数在实数上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反正割是单射也是可逆的，由于限制正割函数的定义域在$[0,\pi ]$（[0, 180°]）时，其值域是全体实数，但在区间$[-1,1]$不存在。

符号

反正割一般记为$\sec ^{-1}z$或$\operatorname {arcsec} z$，以表示正割的反函数。也有以大写书写的版本Arcsec z和Sec^-1 z一般用于表示多值函数。在符号$\sec ^{-1}z$上的上标-1是表示反函数，而不是乘法逆元素。但根据ISO 31-11应将反正切函数记为$\operatorname {arcsec} z$，因为$\sec ^{-1}$可能会与${\frac {1}{\sec }}$混淆，${\frac {1}{\sec }}$是余弦函数。

定义

原始的定义是将正割函数限制在$[0,\pi ]$（[0, 180°]）的反函数
在复变分析中，反正割是这样定义的：

$\operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,$

这个动作使反正割被推广到复数。

下图表示推广到复数的反正割复数平面函数图形，可以见到图中央有一条明显的横线正好是实数中未被定义的区间[-1,1]。

拓展到复数的反正割函数

直角三角形中

在直角三角形中，反正割定义为已知斜边c与邻边b比值对应的$\angle A$的大小，也就是：

$\sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!$

• 
  直角三角形，C为直角，对于角A而言，a为对边、b为邻边、c为斜边
• 
  直角三角形，已知斜边斜边为x且邻边为单位长

此外在直角三角形中，若已知斜边为$x$且邻边为单位长，$x$代入反正割可求得对应的角的大小：

$\sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!$

因此，根据毕氏定理可以使反正割利用其他反三角函数表示：

$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$

$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$

$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$

直角坐标系中

若$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个未知的象限角，$P\left({x,y}\right)$是角的终边上一点，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是P到原点O的距离，若已知${\frac {r}{x}}\,\!$，则可利用反正割求得未知的象限角$\alpha$：

$\sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!$

级数定义

反正割函数可以使用无穷级数定义：

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

反正割函数的泰勒展开式为：

$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots$

参见

• 反余弦
• 正割
• 余弦

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Secant. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Arcsecant. MathWorld.