普洛尼克數
外觀
在數學中,普洛尼克數(pronic number),也叫矩形數(oblong number),是兩個連續非負整數積,即。第n個普洛尼克數都是n的三角形數的兩倍。開頭的幾個普洛尼克數是:
性質
[編輯]- 普洛尼克數也可以表達成。
- 對於第n個普洛尼克數也正好等於頭n個偶數的和,也是第n個三角形數的兩倍。[1]
- 普洛尼克數不可能是奇數,因為它必須為一偶數與奇數之積,而且是三角形數的兩倍。[1]
- 普洛尼克數的數字根必為2、3、6、9。[註 1]
- 普洛尼克數的末位數只可能是0、2、6。[註 2]
- 除了0以外,普洛尼克數也不可能是平方數[註 3]。
- 除了0以外,普洛尼克數也不可能是次方數。[來源請求][查證請求][原創研究?]
- 除了6以外,普洛尼克數也不可能是完全數。[來源請求][查證請求][原創研究?]
- 一個非負整數是普洛尼克數,若且唯若此數的4倍加1是平方數。[註 4]
- 連續兩個普洛尼克數的平均是平方數。[註 5]
- 顯然,2是唯一的一個素普洛尼克數,也是斐波那契數列中唯二的普洛尼克數(另一個是0)[2]。
特殊的普洛尼克數
[編輯]- 同時為普洛尼克數及三角形數的數(不定方程):最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……[3][4],對應的值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……(OEIS數列A053141),對應的值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……(OEIS數列A001652)。
註釋
[編輯]- ^ 若n≡0 (mod 9),則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
- 若n≡1 (mod 9),則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
- 若n≡2 (mod 9),則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
- 若n≡3 (mod 9),則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
- 若n≡4 (mod 9),則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
- 若n≡5 (mod 9),則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
- 若n≡6 (mod 9),則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
- 若n≡7 (mod 9),則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
- 若n≡8 (mod 9),則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
- ^ 若n≡0 (mod 10),則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
- 若n≡1 (mod 10),則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
- 若n≡2 (mod 10),則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
- 若n≡3 (mod 10),則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
- 若n≡4 (mod 10),則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
- 若n≡5 (mod 10),則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
- 若n≡6 (mod 10),則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
- 若n≡7 (mod 10),則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
- 若n≡8 (mod 10),則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
- 若n≡9 (mod 10),則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
- ^ 因為n與(n+1)差1,所以兩數互質,故若n×(n+1)為平方數,則n與(n+1)也皆為平方數,2個平方數差1,則必為0與1,因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。
- ^ 普洛尼克數 n(n+1) 的4倍加1是4n2+4n+1 = (2n+1)2
- ^ 兩個相鄰的普洛尼克數 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)2
參考資料
[編輯]- ^ 1.0 1.1 Knorr, Wilbur Richard, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, (原始內容存檔於2016-05-08).
- ^ McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, (原始內容存檔 (PDF)於2020-09-29)
- ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. (原始內容存檔於2021-02-25).