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可數選擇公理

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可數選擇公理,指示為,是公理化集合論的類似於選擇公理的一個公理。它聲稱非空集合的任何可數搜集都一定有選擇函數保羅·寇恩證明了ACωZermelo-Fraenkel集合論)中是不可證明的。

足夠證明可數多可數集合的併集是可數的。它還足夠證明所有無限集合都是戴德金無限的(等價的說:有可數無限的真子集)。對於開發數學分析特別有用,這裏的很多結果依賴於實數的可數集合有選擇函數(考慮為有理數柯西序列的集合)。

是弱形式的選擇公理(AC),它聲稱非空集合的「所有」搜集一定有一個選擇函數。AC明確的蘊涵了依賴選擇公理(DC),而DC足夠證明。但是要嚴格弱於DC(而DC嚴格弱於AC)。

用法

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作為應用的例子,下面是所有無限集合是戴德金無限的一個證明(在中):

是無限的。對於每個自然數,設的所有元素子集的集合。因為是無限的,每個是非空的。對序列應用,便得到了序列(),這裏的每個是有個元素的的子集。
集合可能是相交的,但是我們可以定義
與所有的併集的差集,
明顯的每個集合都有至少1個和至多個元素,而集合是兩兩不相交的。再對序列應用,便得到了序列,其中
所以所有都是相異的,而包含一個可數集合。定義把每個映射到的函數(並固定所有的其他元素),f是從的一一映射,它不是滿射,這證明了是戴德金無限的。

參見

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