拉格朗日點

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拉格朗日點(Lagrangian point)又稱平動(libration points)在天體力學中是限制性三體問題的五個特殊解(particular solution)。就平面圓型三體問題,1767年數學家歐拉根據旋轉的二體引力場推算出其中三個點(特解)為L1、L2、L3,1772年數學家拉格朗日推算出另外兩個點(特解)為L4、L5。例如,兩個天體環繞運行,在空間中有五個位置可以放入第三個物體(質量忽略不計),並使其保持在兩個天體的相應位置上。理想狀態下,兩個同軌道物體以相同的周期旋轉,兩個天體的萬有引力離心力在拉格朗日點平衡,使得第三個物體與前兩個物體相對靜止

位置[編輯]

五個拉格朗日點之定義及位置如下:

圖示雙體系統中的五個拉格朗日點

L1[編輯]

在M1和M2兩個大天體的連線上,且在它們之間。

例如一個圍繞太陽旋轉的物體,它距太陽的距離越近,它的軌道周期就越短。但是這忽略地球的萬有引力對其產生的拉力的影響。如果這個物體在地球與太陽之間,地球引力的影響會減弱太陽對這物體的拉力,因此增加這個物體的軌道周期。物體距地球越近,這種影響就越大。在L1點,物體的軌道周期恰好等於地球的軌道周期。太陽及日光層探測儀(SOHO)[1]即在日-地系統的L1點上運行。

L2[編輯]

在兩個大天體的連線上,且在較小的天體一側。

日地系統的L2在地球遠離太陽的一側。一般來講,一個物體距太陽的距離越遠,它的軌道周期通常就越長,但L2點上的物體還受到地球的引力,所以軌道周期變地與地球的相等。日地系統的L2通常用於放置太空望遠鏡。因為L2上的物體可以保持背向太陽和地球的方位,易於保護和校準。威爾金森微波各向異性探測器已經在日-地系統的L2點上運行。詹姆斯韋伯太空望遠鏡將要被放置在日-地系統的L2點上。嫦娥二號北京時間2011年8月25日23時27分,經過77天的飛行,「嫦娥二號」在世界上首次實現從月球軌道出發,受控準確進入距離地球約150萬公里遠的、太陽與地球引力平衡點——拉格朗日L2點的環繞軌道[2]

地月系統的L2在月球遠離地球的一側(月球背面)。2014年中國探月工程三期再入返回飛行試驗器服務艙曾進入環繞地月L2點的李薩如軌道開展試驗。服務艙實現了環繞地月L2點飛行三圈,驗證了軌道設計、軌道控制和軌道維持技術[3]

L3[編輯]

在兩個大天體的連線上,且在較大的天體一側。

例如:第三個拉格朗日點,L3,位於太陽的另一側,與太陽的距離略小於地球與太陽的距離,但是位於地球軌道的外部,這個看上去矛盾的表述是因為地球公轉軌道的焦點,是太陽與地球的共同質心,儘管對於日地系統來說共同質心在太陽內部,太陽同時也在圍繞這個共同質心轉動,所以這種狀態成為可能。

一些科幻小說漫畫會在L3點創造一個「反地球」。

L4[編輯]

L4點受兩天體重力的合力指向系統的質心

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上,且在較小天體圍繞兩天體系統質心運行軌道的前方。此點穩定的原因在於,它到兩大物體的距離相等,其對兩物體分別的引力之比,正好等於兩大物體的質量之比。因此,兩個引力的合力正好指向該系統的質心,合力大小正好提供該物體公轉所需之向心力,使其旋轉周期與質量較小天體相同並達成軌道平衡。該系統中,兩大物體和L4點上物體圍繞質心旋轉,旋轉中心與質心重合。事實上,L4與L5點上的物體的質量不須小到可忽略。L4和L5處,小物體受太陽和地球的引力的合力指向日地共同質心且大小正合適。

L5[編輯]

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上,且在較小天體圍繞兩天體系統質心運行軌道的後方。

L4和L5有時稱為三角拉格朗日點特洛伊點。科幻作品(如漫畫、小說)所說的用於放置殖民衛星的拉格朗日點特指L4和L5,不包括L1、L2和L3[來源請求]

例如:L4和L5在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成60°角處。

實質上是三個物體圍繞共同質心轉動。

平衡性[編輯]

Lagrange points.jpg

嚴格而言,首先拉格朗日點只算是二星體連線之法平面內的穩定點,而在三維空間內則不穩定:考慮L1:若垂直於中線地推移測試質點,則有一力將其推回平衡點(穩定平衡);但若測試質點漂向任一星體,則該星體之引力會將其拉向自己(不穩定平衡)。(參見平衡)L1、L2、L3在這條直線上不穩定,如果把物體放在這上面的話,它馬上會離開這個點[4]。所以,有一種軌道的設計就是,它是圍繞L2做周期運動(Halo orbit英語Halo orbit),這樣的話,我們的衛星只需少量調節便能維持其軌道。

此對比:若M1比M2大於24.96[5],則處於L4與L5的物體是穩定平衡:當一測試質點偏離此平衡點,則科里奧利力會將其軌道扭曲成(相對於旋轉座標之)扁豆狀。太陽-木星系統有幾千枚小行星,通稱為「特洛伊小行星」,俱劃此等軌跡。太陽-火星、太陽-土星、木星-木衞、土星-土衞等系統亦有類似星體。日-地系統中亦有 2010 TK7(第一顆地球特洛伊小行星),在二十世紀五十年代發現塵霧圍繞L4與L5。在地-月系統之L4與L5點亦發現比對日照更微弱之塵霧。

地球的伴星(companion object)克魯特尼以類似特洛伊之軌道「圍繞」地球,但不是真正的特洛伊衞星,它基本上以一週期略小於一年之橢圓軌道環繞太陽,接近地球時從地球公轉提取動能而進入較高之軌道。當克魯特尼被地球追上,則會交回此動能,跌落低能軌道,重新開始循環。

土衛十一(Epimetheus)與土衛十(Janus)有類似關係,唯因其質量相若,故週期性地互換軌道。

另一類似位形為軌道共振,其中各星體之週期,因其相互作用,成簡單整數比。

土衛三(Tethys)的L4和L5點有兩個小衛星,土衛十三(Telesto)和土衛十四(Calypso)。土衛四(Dione)的L4點有一個衛星土衛十二(Helene)。

參考文獻[編輯]

參見[編輯]

外部連結[編輯]