方根

維基百科,自由的百科全書
跳到: 導覽搜尋
Nuvola mimetypes kformula kfo.png

數學中,若一個數ban次方根,則bn=a。當提及實數an次方根的時候,假定想要的是這個數的n次方根,那麼它就可以用根號表示成。例如:1024的主10次方根為2,就可以記作=2。定義實數a的主n次方根為an次方根,且具有與a相同的正負號的唯一實數b。如果n偶數,那麼負數將沒有主n次方根。習慣上,將2次方根叫做平方根,將3次方根叫做立方根

符號史[編輯]

最早的根號「√」源於字母「L」的變形(出自拉丁語latus的首字母,表示「邊長」),沒有線括號(即被開方數上的橫線),後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的,因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。從而,形成了我們現在所熟悉的開方運算符號

由於在計算機中的輸入問題,我們有時還可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算[編輯]

帶有根號的運算由如下公式給出:

這裏的ab正數

對於所有的非零複數a,有n個不同的複數b使得bn = a,所以符號不能無歧義的使用。n單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式被變換到形式,冪的規則仍適用(即使對分數冪),也就是

例如:

如果你要做加法減法,則你應當注意下列概念是重要的。

如果你理解了如何去簡化一個根式表達式,則加法和減法簡單的是的「同類項」問題。

例如

不盡根數[編輯]

經常簡單的留着數的n次方根不解(就是留着根號)。這些未解的表達式叫做「不盡根數」(surd),它們可以接着被處理為更簡單的形式或被安排相互

如下恆等式是操縱不盡根數的基本技術:

無窮級數[編輯]

方根可以表示為無窮級數:

找到所有的方根[編輯]

任何數的所有的根,實數或複數的,可以通過簡單的算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式ae (參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:

對於,這裏的表示a的主n次方根。

正實數[編輯]

所有xn = aan次方根,這裏的a是正實數,的複數解由如下簡單等式給出:

對於,這裏的表示a的主n次方根。

解多項式[編輯]

曾經猜想多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達;但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如,方程

的解不能用根號表達。

要解任何n次方程,參見根發現算法

算法[編輯]

對於正數,可以通過以下算法求得的值:

  1. 猜一個的近似值,將其作為初始值
  2. 。記誤差為,即
  3. 重複步驟2,直至絕對誤差足夠小,即:

從牛頓法導出[編輯]

之值,亦即求方程的根。

,其導函數

牛頓法作疊代,便得

從牛頓二項式定理導出[編輯]

為疊代值,為誤差值。

(*),作牛頓二項式展開,取首兩項:

調項得

將以上結果代回(*),得遞歸公式

參見[編輯]

外部連結[編輯]