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非交換拓撲

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數學中,非交換拓撲是用於拓撲學C*-代數概念之間關係的術語。非交換拓撲起源於蓋爾范德–奈馬克定理,指出局部緊豪斯多夫空間範疇交換C*-代數範疇之間的對偶性。非交換拓撲與解析非交換幾何有關。

例子

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非交換拓撲背後是前提是,非交換C*-代數可以像非交換空間上的復值連續函數代數一樣處理,而非交換空間在經典上是不存在的。有幾個拓撲性質可表為C*-代數的性質,而無需提及交換性或底空間,因此可以立即推廣。其中包括

交換C*-代數的各個元素同連續函數相對應。因此,某些函數類可對應C*-代數的性質,例如交換C*-代數的自伴元素對應實值連續函數。另外,投影(即自伴冪等元)對應閉開集指示函數。 範疇構造引出一些例子。如,空間的余積無交並 ,於是對應於代數的直和,其是C*-代數的。同樣,積拓撲對應C*-代數的余積,即代數的張量積。在更特殊的情形下,拓撲的緊化對應代數的單位化,於是單點緊化對應C*-代數的最小單位化,斯通-切赫緊化對應乘數代數冠集對應冠代數

在某些性質的例子中,可能存在多種推廣,但並不清楚哪種更可取。例如,概率測度可對應狀態或跡態。由於交換情形下,所有狀態都是空跡態(vacuously tracial state),因此跡條件是否是有用推廣的必要條件,並不清楚。

K理論

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這一思想的一個主要例子是拓撲K-理論算子K-理論的形式推廣到非交換C*-代數。

其進一步發展是K理論的雙變量版本,稱作KK-理論,有組合積

其中普通K理論的結構是特例。積賦予KK以範疇的結構,與代數簇對應有關。[1]

參考文獻

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  1. ^ Connes, Alain; Consani, Caterina; Marcolli, Matilde, Noncommutative geometry and motives: the thermodynamics of endomotives, Advances in Mathematics, 2007, 214 (2): 761–831, MR 2349719, arXiv:math.QA/0512138可免費查閱, doi:10.1016/j.aim.2007.03.006可免費查閱