2的主平方根

2的主平方根，俗稱「根號2」，記作 ${\sqrt {2}}$ ，可能是最早被發現的無理數。相傳畢達哥拉斯學派的希帕索斯首先提出了「 ${\sqrt {2}}$ 不是有理數」的命題：若一個直角三角形的兩個直角邊都是1，那麼它的斜邊長，無法用整數或分數表示。

${\sqrt {2}}$ 其最初65位為

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… （OEIS數列A002193）

${\sqrt {2}}$ 是無理數的證明

人們發現了許多方法證明 ${\sqrt {2}}$ 是無理數。以下是反證法的證明

假設 ${\sqrt {2}}$ 是有理數，即有整數 $a_{0}$ 、 $b_{0}$ ，使得 ${\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\sqrt {2}}$
將 ${\sqrt {2}}$ 重寫成最簡分數 ${\tfrac {a}{b}}$ ，即 $a$ 和 $b$ 互質，且 $\left({\tfrac {a}{b}}\right)^{2}=2$
所以 ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2$ ，即 $a^{2}=2b^{2}$
因為 $2b^{2}$ 必為偶數，故 $a^{2}$ 亦是偶數
故 $a$ 為偶數（奇數的平方不會是偶數）
所以必有一整數 $k$ ，使得 $a=2k$
將（3）的式子代入（6）： $2b^{2}=\left(2k\right)^{2}$
化簡得 $b^{2}=2k^{2}$
因為 $2k^{2}$ 是偶數，所以 $b^{2}$ 是偶數， $b$ 亦是偶數
所以 $a$ 和 $b$ 都是偶數，跟 ${\frac {a}{b}}$ 是最簡分數的假設矛盾
因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤， ${\sqrt {2}}$ 不是有理數，即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數 $n$ ，其主平方根 ${\sqrt {n}}$ 為無理數。

另外一個 ${\sqrt {2}}$ 是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮：

假設 ${\sqrt {2}}$ 是有理數，便可以表示成最簡分數 ${\frac {m}{n}}$ ，其中 $m$ , $n$ 為正整數
${\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{2-1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}$
由於 ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ ，所以 ${\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {2-{\frac {m}{n}}}{{\frac {m}{n}}-1}}={\frac {2n-m}{m-n}}$
因為 ${\frac {m-n}{n}}={\sqrt {2}}-1$
$2>{\sqrt {2}}\Rightarrow 1+1>{\sqrt {2}}\Rightarrow {\sqrt {2}}-1<1$
所以 $m-n<n$
故 ${\frac {2n-m}{m-n}}$ 是比 ${\frac {m}{n}}$ 更簡的分數，與 ${\frac {m}{n}}$ 是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為 $n$ ，斜邊為 $m$ 的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為 $m-n$ ，斜邊為 $2n-m$ 的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

2的主平方根可以表示為以下的級數或無窮乘積：

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .

2的主平方根的連分數展開式為：

\!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.

註:

^ 令 $\!\ x=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$ ，由觀察可知 $x=2+{\frac {1}{x}}$ ，即 $x^{2}-2x-1=0$ ，解方程，取正根，得 $x=1+{\sqrt {2}}$ ，因此 ${\sqrt {2}}=x-1=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$ 。