瑞利分佈

瑞利分佈

機率密度函數
累積分佈函數
參數	$\sigma >0\,$
值域	$x\in [0;\infty )$
機率密度函數	${\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}$
累積分佈函數	$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
期望值	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$
中位數	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,$
眾數	$\sigma \,$
變異數	${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$
偏度	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
峰度	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
熵	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
動差母函數	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
特徵函數	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

瑞利分佈（Rayleigh distribution），又譯為萊利分佈，當一個隨機二維向量的兩個分量呈獨立的、有着相同的方差、均值為0的正態分佈時，這個向量的模呈瑞利分佈。例如，當隨機複數的實部和虛部獨立同分佈於0均值，同方差的正態分佈時，該複數的絕對值服從瑞利分佈。該分佈是以瑞利命名的。

瑞利分佈的機率密度函數是

$f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},\quad x\geq 0,$

參見

• 瑞利散射
• 萊斯衰落信道