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麦克斯韦应力张量

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詹姆斯·麦克斯韦

电磁学里,麦克斯韦应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。麦克斯韦应力张量可以表现出电场力磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况,例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场,应用洛伦兹力定律,就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是,当遇到稍微复杂一点的状况时,这很普通的程序会变得非常困难,方程洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此,物理学家通常会聚集很多项目于麦克斯韦应力张量内,然后使用张量数学来解析问题。

导引

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为了方便参考,先列出麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组(国际单位制
名称 微分形式
高斯定律
高斯磁定律
法拉第感应定律
麦克斯韦-安培定律

其中,电场磁场电荷密度电流密度电常数磁常数

从洛伦兹力定律开始,一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力

应用高斯定律和麦克斯韦-安培定律,把电荷密度和电流密度替换掉,只让电场和磁场出现于方程:

应用乘积法则和法拉第感应定律:

稍加编排,将 写为

为了使 的项目 的项目能够相互对称,加入一个 项目:

应用矢量恒等式,对于任意矢量

的方程内的旋度项目除去:

这方程最右边项目涉及了坡印亭矢量

设定麦克斯韦应力张量 (以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量):

其中,克罗内克函数

定义一个矢量 与麦克斯韦应力张量 内积

那么,一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力

麦克斯韦应力张量的性质

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麦克斯韦应力张量是一个对称张量,表达为

麦克斯韦应力张量的单位是牛顿2。麦克斯韦应力张量的 ij 元素诠释为,朝着 i-轴方向,施加于 j-轴的垂直平面,单位面积的作用力;对角元素代表负压力,非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力(拖拉力)作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力,在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。

动量守恒定律

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在一个体积 内的电荷,所感受到的总作用力

应用散度定理,可以得到

其中, 是体积 的闭合表面。

根据牛顿第二定律

其中, 是动量。

所以,电荷的动量 可以表达为

其中, 是储存于电磁场的动量(坡印亭矢量 是由电场和磁场组成的一个复合矢量)。

稍加编排,可以得到动量守恒定律的积分方程:

动量守恒定律阐明,一个体积的总动量(电荷的动量加上电磁场的动量)的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的麦克斯韦应力张量 是一个动量通量密度。

动量守恒定律也能以微分形式表达为

其中, 是电荷的动量密度, 是电磁场的动量密度。

相关条目

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参考文献

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