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欧拉公式

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欧拉公式英语:Euler's formula,又称尤拉公式)是在复分析领域的公式,将三角函数与复数指数函数相关联,因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。尤拉公式提出,对任意实数,都存在

其中自然对数的底数虚数单位,而则是余弦、正弦对应的三角函数,参数则以弧度为单位。这一复数指数函数有时还写作英语:cosine plus i sine,余弦加i正弦)。由于该公式在复数时仍然成立,所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式。

形式

Euler's formula.svg

对于任意实数,以下恒真:

由此也可以推导出 。当时,欧拉公式的特殊形式为。(参见欧拉恒等式

cis函数

在复分析领域,欧拉公式亦可以以函数的形式表示

并且一般定义域,值域为(复平面上的所有单位向量)。

当一复数的模为1,其反函数就是辐角arg函数)。

值为复数时,cis函数仍然是有效的,所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。[1]

证明

方法一:泰勒级数
把函数写成泰勒级数形式:
代入可得:
方法二:求导法

对于所有,定义函数

由于

可知不可能为0,因此以上定义成立。

之导数为:

拉格朗日中值定理

因此必是常数函数

重新整理,即可得到:

方法三:微积分

找出一个函数,使得

如果使用积分法,的原函数是以上两个函数。

时,原函数的值相等,所以以上两个函数相等。

证明和角公式

由于,将两式相乘,则

实部等于实部,虚部等于虚部,因此

在复变分析的应用

这公式可以说明当为实数时,函数可在复数平面描述一单位圆。且为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述,欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数皆可记为

在此

为实部
为虚部
z
,其中

参见

参考资料

  1. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.