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歐拉公式

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歐拉公式英語:Euler's formula,又稱尤拉公式)是在複分析領域的公式,將三角函數與複數指數函數相關聯,因其提出者萊昂哈德·歐拉而得名。尤拉公式提出,對任意實數 ,都存在

其中 自然對數的底數虛數單位,而 則是餘弦、正弦對應的三角函數,參數 則以弧度為單位。這一複數指數函數有時還寫作 英語:cosine plus i sine,餘弦加 i 正弦)。由於該公式在 複數時仍然成立,所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式。

形式[編輯]

Euler's formula.svg

對於任意實數,以下恆真:

由此也可以推導出 。 當時,歐拉公式的特殊形式為。(參見歐拉恆等式

cis函數[編輯]

在複分析領域,歐拉公式亦可以以函數的形式表示

並且一般定義域,值域為(複數平面上的所有單位向量)。

當一複數的模為1,其反函數就是輻角arg函數)。

值為複數時,cis函數仍然是有效的,所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。[1]

證明[編輯]

方法一:泰勒級數
把函數寫成泰勒級數形式:
代入可得:
方法二:求導法

對於所有,定義函數

由於

可知不可能為0,因此以上定義成立。

之導數為:

拉格朗日均值定理

因此必是常數函數

重新整理,即可得到:

方法三:微積分

找出一個函數,使得

如果使用積分法,的原函數是以上兩個函數。

時,原函數的值相等,所以以上兩個函數相等。

證明和角公式[編輯]

由於,將兩式相乘,則

實部等於實部,虛部等於虛部,因此

在複變分析的應用[編輯]

這公式可以說明當為實數時,函數可在複數平面描述一單位圓。且為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。 先前一個在複數平面的複點只能用笛卡爾座標系描述,歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數皆可記為

在此

為實部
為虛部
z
,其中

參見[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.