线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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在线性代数里,向量空间的一组元素中,若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示,则称为线性无关或线性独立(linearly independent),反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。
假设V是在域K上的向量空间。如果
是V的向量,若它们为线性相关,则在域K 中有非全零的元素
,使得
;
或更简略地表示成,
。
(注意右边的零是V的零向量,不是K的零元。)
如果K中不存在这样的元素,那么
是线性无关。
对线性无关可以给出更直接的定义。向量
线性无关,当且仅当它们满足以下条件:如果
是K的元素,适合:
,
那么对所有
都有
。
在V中的一个无限集,如果它任何一个有限子集都是线性无关,那么原来的无限集也是线性无关。
线性相关性是线性代数的重要概念,因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间,而这组向量则是这向量空间的基。
- 若有向量组
,其中
,则
。
- 若有向量组
,其中
,则
。
- 若一向量组相关,则加上任意个向量后,仍然线性相关;即局部线性相关,整体必线性相关。
- 整体线性无关,局部必线性无关。
- 向量个数大于向量维数,则此向量组线性相关。
- 若一向量组线性无关,即使每一向量都在同一位置处增加一分量,仍然线性无关。
- 若一向量组线性相关,即使每一向量都在同一位置处减去一分量,仍然线性相关。
- 若
线性无关,而
线性相关,则
必可由
线性表示,且表示系数唯一。
- 有向量组
和
,其中
,且
中每个向量都可由
线性表示,则向量组
必线性相关。即向量个数多的向量组,若可被向量个数少的向量组线性表示,则向量个数多的向量组必线性相关。
- 若一向量组
可由向量组
线性表示,且
线性无关,则
。即线性无关的向量组,无法以向量个数较少的向量组线性表示。
设V = Rn,考虑V内的以下元素:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257628fe41ca9d2fee313968a437287861dea1d5)
则e1、e2、……、en是线性无关的。
假设a1、a2、……、an是R中的元素,使得:
![{\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3440fee4aaa9378f132fedcb35aca2bb2a4293)
由于
![{\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f74844c09998e3de2777a6100c0f47cd2ccd140)
因此对于{1, ..., n}内的所有i,都有ai = 0。
设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。
假设a和b是两个实数,使得对于所有的t,都有:
- aet + be2t = 0
我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et(它不能是零),得:
- bet = −a
也就是说,函数bet与t一定是独立的,这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。
R4内的以下向量是线性相关的。
![{\displaystyle {\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff04b8e211b6e08a7731131a830c26eefc771fcd)
我们需要求出标量
、
和
,使得:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560c709b8310d25a822f4330a612a9f5a34a77a6)
可以形成以下的方程组:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6f41ca7bebd5a8b74d0e953f44cbc6e73a1d76)
解这个方程组(例如使用高斯消元法),可得:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d628cee1adeb7f824e715aab75d8fa0605246d28)
由于它们都是非平凡解,因此这些向量是线性相关的。