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逆矩陣

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提示:本條目的主題不是轉置矩陣
線性代數
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

逆矩陣(英語:inverse matrix:在線性代數中,給定一個n方陣,若存在一n階方陣,使得,其中n單位矩陣,則稱可逆的,且逆矩陣,記作

只有正方形(n×n)的矩陣,亦即方陣,才可能、但非必然有逆矩陣。若方陣的逆矩陣存在,則稱非奇異方陣或可逆方陣。

與行列式類似,逆矩陣一般常用於求解包含數個變數的數學方程式。

求法[編輯]

伴隨矩陣法[編輯]

如果矩陣可逆,則其中伴隨矩陣

注意:中元素的排列特點是的第元素是的第元素的代數餘子式。要求得即為求解餘因子矩陣轉置矩陣

初等變換法[編輯]

如果矩陣互逆,則。由條件以及矩陣乘法的定義可知,矩陣都是方陣。再由條件以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知,這兩個矩陣的行列式都不為0。也就是說,這兩個矩陣的秩等於它們的級數(或稱為階,也就是說,A與B都是方陣,且rank(A) = rank(B) = n)。換句話說,這兩個矩陣可以只經由初等行變換,或者只經由初等列變換,變為單位矩陣。

因為對矩陣施以初等行變換(初等列變換)就相當於在的左邊(右邊)乘以相應的初等矩陣,所以我們可以同時對施以相同的初等行變換(初等列變換)。這樣,當矩陣被變為時,就被變為的逆陣

性質[編輯]

  1. 為A的轉置
  2. (det為行列式


廣義逆陣[編輯]

廣義逆陣(Generalized inverse)又稱偽逆,是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指摩爾-彭若斯廣義逆,它是由E. H. Moore和Roger Penrose分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小平方問題中有重要應用。

參見[編輯]

外部連結[編輯]