施拉姆-勒夫纳演进

在概率论中，Schramm–Loewner演变（SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模特的缩放极限。

应用

• Uniform spanning tree, Loop erased random walk
• 自避行走
• 普遍性 (物理学)
• Schramm–Loewner进化描述临界渗流，临界易辛模型，自避行走的缩放极限
• 统计力学模型
• 因为SLE有马尔可夫性质，所以可以用伊藤微积分来分析一下
• 共形场论

Loewner演变

• D 是单连通的开集。D是复杂域，但是不等于C。
• γ 是D中的一条曲线。γ 在D 的边界开始。
• $D_{t}=D-\gamma ([0,t])$
• 因为$D_{t}$是单连通的，它通过共形映射等于D（黎曼映射理论）。
• $f:D_{t}\to D$是同构。
• $g(f(z))=z$是反函數。
• 在t = 0，f₀(z) = z 和 g₀(z) = z。
• ζ(t)是驱动函数（driving function），接受D边界上的值。

根据Loewner (1923，p. 121)，Loewner方程是

${\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}$

${\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.$

$\zeta ,\gamma$的关系是

$f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ 或 }}\ \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))$

Schramm–Loewner演变

SL演变是一个Loewner方程，有下面的驱动函数

$\zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)$

其中 B(t) 是D边界上的布朗运动。

例如

• 若0 ≤ κ ≤ 4，曲线γ(t)几乎必然是简单曲线
• 若4 < κ < 8，γ(t) 与自身相交。
• 若 κ ≥ 8，γ(t)是space-filling的。
• 若κ = 2，曲线是Loop-erased random walk。
• κ = 8：皮亚诺曲线
• 若 κ = 8/3，有人猜想这个SLE描述自避行走。
• κ = 3：易辛模型边界的极限
• κ = 4：高斯自由场，harmonic explorer (2005),
• κ = 6：斯坦尼斯拉·斯米尔诺夫证明SLE₆ 是格子（正三角形鑲嵌）上的临界渗透的缩放极限，计算临界指数；证明渗流的共形不变性Smirnov (2001)，Cardy方程
• κ = 8：path separating UST from dual tree

属性

若SLE描述共形场论，central charge c等于

$c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.$

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler, Schramm & Werner (2001) 用SLE₆ 证明Mandelbrot (1982)的猜想：平面布朗运动边界的分形维数是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数是

$d=1+{\frac {\kappa }{8}}.$

模拟

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution

阅读

• https://terrytao.wordpress.com/tag/schramm-loewner-evolution/（陶哲轩介绍SLE）
• http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns017/Lawler/Lawler.pdf（Conformally invariant process in plane, by Lawler）
• http://pi.math.cornell.edu/~cpss/2011/lawler-notes.pdf（SCALING LIMITS AND THE SCHRAMM-LOEWNER EVOLUTION GREGORY F. LAWLER）

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• Cardy, John, SLE for theoretical physicists, Annals of Physics, 2005, 318 (1): 81–118, Bibcode:2005AnPhy.318...81C, arXiv:cond-mat/0503313 , doi:10.1016/j.aop.2005.04.001 
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• Lawler, Gregory F., An introduction to the stochastic Loewner evolution, Kaimanovich, Vadim A. (编), Random walks and geometry, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin: 261–293, 2004, ISBN 978-3-11-017237-9, MR 2087784, （原始内容存档于September 18, 2009） 
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