反正割

反正割
性質
奇偶性	非奇非偶
定義域	$\left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}$
到達域	$\left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}$ $\left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq 90^{\circ }\right\}$
周期	N/A
特定值
當x=0	不存在
當x=+∞	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
當x=-∞	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
當x=1	0
當x=-1	$\pi$ （180°）
其他性質
渐近线	$y={\frac {\pi }{2}}$ （y=90°）

反正割（英語：arcsecant、記為：$\operatorname {arcsec}$或$\sec ^{-1}$）是一種反三角函數，對應的三角函數為正割函數，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反餘弦互為倒數。

由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正割是單射也是可逆的，由於限制正割函數的定義域在$[0,\pi ]$（[0, 180°]）时，其值域是全體實數，但在區間$[-1,1]$不存在。

符號

反正割一般記為$\sec ^{-1}z$或$\operatorname {arcsec} z$，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z和Sec^-1 z一般用於表示多值函數。在符號$\sec ^{-1}z$上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為$\operatorname {arcsec} z$，因為$\sec ^{-1}$可能會與${\frac {1}{\sec }}$混淆，${\frac {1}{\sec }}$是餘弦函數。

定義

原始的定義是將正割函數限制在$[0,\pi ]$（[0, 180°]）的反函數
在複變分析中，反正割是這樣定義的：

$\operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,$

這個動作使反正割被推廣到複數。

下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。

拓展到複數的反正割函數

直角三角形中

在直角三角形中，反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的$\angle A$的大小，也就是：

$\sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!$

• 
  直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
• 
  直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長

此外在直角三角形中，若已知斜邊為$x$且鄰邊為單位長，$x$代入反正割可求得對應的角的大小：

$\sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!$

因此，根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示：

$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$

$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$

$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$

直角坐標系中

若$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角，$P\left({x,y}\right)$是角的终边上一点，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是P到原点O的距离，若已知${\frac {r}{x}}\,\!$，則可利用反正割求得未知的象限角$\alpha$：

$\sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!$

級數定義

反正割函數可以使用無窮級數定義：

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

反正割函數的泰勒展開式為：

$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots$

參見

• 反餘弦
• 正割
• 餘弦

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Secant. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Arcsecant. MathWorld.