Batalin-Vilkovisky代數 （Batalin–Vilkovisky formalism，簡稱BV代數 ）是Batalin和Vilkovisky在研究規範場 的量子化 過程中發現的一種代數結構[1] [2] 量子場論 學家和弦理論 家的重視和應用，而BV代數也越來越受到數學家們的重視。
設
V
{\displaystyle \;V\;}
數域
k
{\displaystyle \;k\;}
線性空間 。
V
{\displaystyle \;V\;}
(
V
,
∙
,
Δ
)
{\displaystyle \;(V,\bullet ,\Delta )\;}
(
V
,
∙
)
{\displaystyle \;(V,\bullet )\;}
k
{\displaystyle \;k\;}
代數 (algebra)；
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
∙
{\displaystyle \;\bullet \;}
二階微分算子 ，即
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
Δ
2
=
0
{\displaystyle \;\Delta ^{2}=0\;}
a
,
b
,
c
∈
V
{\displaystyle \;a,b,c\in V\;}
Δ
(
a
∙
b
∙
c
)
=
Δ
(
a
∙
b
)
∙
c
+
(
−
1
)
|
a
|
a
∙
Δ
(
b
∙
c
)
+
(
−
1
)
(
|
a
|
+
1
)
|
b
|
b
∙
Δ
(
a
∙
c
)
−
(
Δ
a
)
∙
b
∙
c
−
(
−
1
)
|
a
|
a
∙
(
Δ
b
)
∙
c
−
(
−
1
)
|
a
|
+
|
b
|
a
∙
b
∙
(
Δ
c
)
.
{\displaystyle \;{\begin{matrix}\Delta (a\bullet b\bullet c)&=&\Delta (a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta (b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\Delta c).\;\end{matrix}}}
在上面的定義中，如果令
[
a
,
b
]
=
(
−
1
)
|
a
|
Δ
(
a
∙
b
)
−
(
−
1
)
|
a
|
(
Δ
a
)
∙
b
−
a
∙
(
Δ
b
)
,
{\displaystyle \;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;}
則可以驗證，
(
V
,
∙
,
[
,
]
)
{\displaystyle \;(V,\bullet ,[\;,\;])\;}
Gerstenhaber代數 。因此可以說，BV代數是一類特殊的Gerstenhaber代數。不僅如此，
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
[
,
]
{\displaystyle \;[\;,\;]\;}
導子 (derivation)，即
Δ
[
a
,
b
]
=
[
Δ
a
,
b
]
+
(
−
1
)
|
a
|
+
1
[
a
,
Δ
b
]
,
{\displaystyle \;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;}
使得
(
V
,
[
,
]
,
Δ
)
{\displaystyle \;(V,[\;,\;],\Delta )}
李代數 (differential graded Lie algebra, DGLA)。
迄今為止所發現的BV代數的例子幾乎都與數學物理 有關。
設
M
{\displaystyle \;M\;}
辛流形 (odd symplectic manifold)，記
C
∞
(
M
)
{\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
C
∞
(
M
)
{\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;}
∙
{\displaystyle \;\bullet \;}
(
x
1
,
⋯
,
x
n
;
η
1
,
⋯
,
η
n
)
{\displaystyle \;(x^{1},\cdots ,x^{n};\eta ^{1},\cdots ,\eta ^{n})\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
Darboux坐標 ，令
Δ
=
∑
i
=
1
n
∂
∂
x
i
∂
∂
η
i
,
{\displaystyle \;\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \eta ^{i}}},\;}
(
C
∞
(
M
)
,
∙
,
Δ
)
{\displaystyle \;(C^{\infty }(M),\bullet ,\Delta )\;}
[3] [4]
田剛(G. Tian)在關於卡拉比-丘流形 (Calabi-Yau manifold )的復結構 的形變 空間是光滑的證明中，實際上證明了控制復結構形變的微分分次李代數 是一個BV代數[5]
B. Lian和G. Zuckerman證明了量子場論的數學背景(background，指從量子場論中抽象出來的代數結構)有一個BV代數結構[6]
E. Getzler用不同於Lian和Zuckerman的方法證明，一個二維拓撲共形場論 (TCFT，此處採用Segal的定義)的同調群 有一個自然的BV代數結構[7]
M. Chas和D. Sullivan證明，一個流形的自由環路空間 (free loop space)的同調群上有一個BV代數結構[8]
正如上面所述，BV代數跟量子場論有密切的聯繫。事實上，對一些數學物理學家來說，一個量子場論就指一個BV代數以及其中一個元素
S
{\displaystyle \;S\;}
Δ
e
S
=
0
(
{\displaystyle \;\Delta e^{S}=0\quad {\Big (}\;}
等價於
Δ
S
+
1
2
[
S
,
S
]
=
0
)
,
{\displaystyle \;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;}
稱為Master方程 ，有時候
S
{\displaystyle \;S\;}
量子Master方程 ，即
Δ
e
S
ℏ
=
0.
{\displaystyle \;\Delta e^{\frac {S}{\hbar }}=0.\;}
另外，BV代數跟弦理論裏面的鏡像對稱 (Mirror Symmetry )也有密切的關係。事實上，鏡像對稱的A模型 和B模型 都有一個BV代數，而它們相應的Master方程的解空間上都有一個所謂弗羅貝尼烏斯流形 的結構。鏡像對稱的一種表述就是，這兩個Frobenius流形是同構的。
BV代數的研究是目前數學特別是數學物理中一個比較活躍的領域，關於它的研究仍在進行之中。
參考文獻 [ 編輯 ]
^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.
^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.
^ A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088
^ D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057
^ G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
^ B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
^ E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.
^ M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.
基本對象 背景理論 微擾弦理論 非微擾結果 現象學 數學方法 幾何 規範場論 超對稱 理論家
![{\displaystyle \;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a008ac9e63646663359ede0c49aec29511f5f3)
![{\displaystyle \;(V,\bullet ,[\;,\;])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a023e66b59cb483053852610470a73b1abe40f2)
![{\displaystyle \;[\;,\;]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea36d9f95bbf948101a8e3d1dae0123ebaf325a)
![{\displaystyle \;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781d60e67d8a462ce5dd29cfbbd97a5063f3c1b3)
![{\displaystyle \;(V,[\;,\;],\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672018829b98d169baa5d166efb534b1afb38733)
![{\displaystyle \;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa223776499844e100f697abf0917218f4bc7b90)
