對稱集

在數學中，當一個群G的非空子集S包含了其所有元素的反元素時，此非空子集S被稱為對稱集。

例如，乘法群的非空子集S滿足

$S=S^{-1}$

其中$S^{-1}=\{x^{-1}:x\in S\}$，則S被稱為是對稱的(英語：symmetric)；

加法群的非空子集S滿足

$S=-S$

其中$-S=\{-x:x\in S\}$，則S被稱為是對稱的。

如果S是向量空間的子集，且它相對於向量空間的加法群組結構是對稱的，則S被稱為是對稱的；也就是說滿足$S=-S=\{-x:x\in S\}$。

例子

• 在實數集R中，對稱集的例子如滿足$k>0$的$(-k,k)$型區間，以及整數集Z和點集$\{-1,1\}$。
• 向量空間的任意向量子空間都是對稱集。
• 如果S是一個群的任意子集，則$SS^{-1}$和$S^{-1}S$是對稱集。

參考文獻

• R. Cristescu, Topological vector spaces, Noordhoff International Publishing, 1977.
• W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1973.

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