谱半径

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数学上,矩阵有界线性算子谱半径(spectral radius)是其特征值绝对值中的最大值(也就是矩阵的谱中元素绝对值中的最小上界),会表示为ρ(·)。

矩阵[编辑]

λ1, ..., λn是矩阵ACn×n中的特征值,则其谱半径 ρ(A) is 定义为:

条件数可以用谱半径表示,公式为

谱半径是矩阵所有范数的一种下确界(infimum)。另一方面,对每一个矩阵范数 都成立,Gelfand公式指出。不过,针对任意向量,谱半径不一定会满足。若要说明原因,可以令为任意数,考虑矩阵特征多项式,因此其特征值为,且。不过,因此,其中上的任何范数。至于可以当时,让的原因是,因此当时,使

针对所有

成立的条件是埃尔米特矩阵欧几里得范数

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有限的谱半径定义为其邻接矩阵的谱半径。

此一定义可以扩散到无限图,但是其每个顶点都只连接有限个顶点(存在一实数C使得每一个顶点的都小于C)。此情形下,针对图G可定义:

γG的邻接算子:

G的谱半径定义为有界线性算子γ的谱半径。

上界[编辑]

矩阵谱半径的上界[编辑]

以下的命题指出了一个简单但是有用的矩阵谱半径上界:

命题:令ACn×n,其谱半径为ρ(A),以及相容(Consistent)矩阵范数 ||⋅||。则针对每一个整数:

证明

(v, λ)为矩阵A的特征值-特征向量对。利用矩阵范数的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:

因为v ≠ 0,可得

因此

图谱半径的上界[编辑]

有关n个顶点,m个边的图,有许多的谱半径的上界公式。例如,若

其中为整数,则[1]

乘幂数列[编辑]

定理[编辑]

谱半径和矩阵乘幂数列是否收敛有紧密的关系。以下的定理会成立:

定理:令ACn×n,其谱半径ρ(A)。则ρ(A) < 1当且仅当
另一方面,若ρ(A) > 1, 。上述叙述针对Cn×n上的任何矩阵范数都有效。

定理证明[编辑]

假设问题中的极限值为零,可以证明ρ(A) < 1。令(v, λ)A特征值和特征向量对。因为Akv = λkv可得:

因为假设v ≠ 0,会得到

表示|λ| < 1。因为这对任何一个特征值都会成立,因此可知ρ(A) < 1。

接下来假设A的谱半径小于1。根据若尔当标准型定理,可以知道针对所有的ACn×n,存在V, JCn×n以及非奇异的VJ分块对角矩阵使得:

其中

因此可得

因为J是分块对角矩阵

若尔当方块矩阵k次方可以得到,针对

因此,若,则针对所有的i都会成立。因此针对所有的i,可得:

这也表示

因此

另一方面,若,当k增加时,在J中至少有一个元素无法维持有界,因此证明了定理的第二部分。

Gelfand公式[编辑]

定理[编辑]

以下的定理可以用[矩阵范数的极限来计算T谱半径

定理(Gelfand公式,1941年):令任何矩阵范数 ||⋅||,,可得
[2].

证明[编辑]

令任意ε > 0,先建构以下二个矩阵:

则:

先将之前的定理应用到A+:

这表示,根据级数极限定理,一定存在N+N使得针对所有的k ≥ N+,下式都成立

因此

将之前的定理用在A,表示无界,一定存在NN使得针对所有的k ≥ N,下式都成立

因此

N = max{N+, N},,可得:

因此,依定义,可得下式

举例[编辑]

考虑以下矩阵

其中的特征值为5, 10, 10。依照定义,ρ(A) = 10。在以下的表中,会以四个最常用的矩阵范式,在k增加时,计算(注意,因为此矩阵特殊的形式,):

k
1 14 15.362291496 10.681145748
2 12.649110641 12.328294348 10.595665162
3 11.934831919 11.532450664 10.500980846
4 11.501633169 11.151002986 10.418165779
5 11.216043151 10.921242235 10.351918183
10 10.604944422 10.455910430 10.183690042
11 10.548677680 10.413702213 10.166990229
12 10.501921835 10.378620930 10.153031596
20 10.298254399 10.225504447 10.091577411
30 10.197860892 10.149776921 10.060958900
40 10.148031640 10.112123681 10.045684426
50 10.118251035 10.089598820 10.036530875
100 10.058951752 10.044699508 10.018248786
200 10.029432562 10.022324834 10.009120234
300 10.019612095 10.014877690 10.006079232
400 10.014705469 10.011156194 10.004559078
1000 10.005879594 10.004460985 10.001823382
2000 10.002939365 10.002230244 10.000911649
3000 10.001959481 10.001486774 10.000607757
10000 10.000587804 10.000446009 10.000182323
20000 10.000293898 10.000223002 10.000091161
30000 10.000195931 10.000148667 10.000060774
100000 10.000058779 10.000044600 10.000018232

有界线性算子[编辑]

针对有界线性算子 A算子范数 ||·||,可以得到

(复数希尔伯特空间上的)有界算子若其谱半径等于数值半径英语numerical radius,可以称为“谱算子”(spectraloid operator)。其中一个例子是正规算子

相关条目[编辑]

注解[编辑]

  1. ^ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 (英语). 
  2. ^ 此公式在任何Banach几何下都成立。参考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8,以及Lax 2002,第195–197页

参考资料[编辑]

  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963 
  • Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1