張量場

在數學，物理和工程上，張量場（tensor field）是一個的非常一般化的幾何變量的概念。它被用在微分幾何和流形的理論中，在代數幾何中，在廣義相對論中，在材料的應力和應變的分析中，和在物理科學和工程的無數應用中。它是向量場和純量場的想法的一般化，而向量場可以視為「從點到點變化的向量」。

物理學中場的一種。假如一個空間中的每一點的屬性都可以以一個張量來代表的話，那麼這個場就是一個張量場。最常見的張量場有廣義相對論的應力能張量場（Stress-energy tensor field）。

必須注意到很多不嚴格的稱為「張量」的數學結構實際上是「張量場」，定義在流形上的場在流形的每點定義一個張量。

幾何式介紹

向量場的幾何直覺就是在某個區域的每一點指定一個帶有長度和方向的「箭頭」（也就是在這區域的每一點指定了一個向量）。彎曲空間的向量場的例子有在地球表面的水平風速的氣象圖。

張量場的一般想法綜合更豐富的幾何信息—例如在度量張量的情況就是點到點變化的橢球—以及我們不需要把概念建立在曲面的特定映射方式上的思想。它應該獨立於緯度和經度存在，或任何我們用以引入數字坐標的特定的'繪圖映射'。

向量叢解釋

當代的張量場思想的數學表達把它分為兩步的概念。

首先有向量叢的想法，實際上就是「依賴於參數的向量空間」—參數就是一個流形。例如：依角度變化的一維向量空間可以看起來像默比烏斯帶也可以像圓柱。給定M上的向量叢V，相應的場的概念稱為叢的一個「截面」：隨着m在M上改變，在m點的向量空間V_m上的向量v_m的一個選擇。

因為張量積概念和任何基的選擇無關，在M上的兩個向量叢的乘積是常規做法。從切叢（切空間的叢）開始，在張量的無分量處理中的整個機制可以一種常規的方式照搬歸來— ,而且也是坐標無關的，就像在簡介中提到的一樣。

最後，我們給出張量場的一個定義，也就是作為某個張量叢的一個截面。因為所有東西都是用內在的方式去做的。

應用

例如，曲率張量用在微分幾何中而應力能張量在物理和工程上很重要。這兩個都和愛因斯坦的廣義相對論理論相關。工程上，很多背景流形經常是歐幾里得三維空間張量場賦予流形的任意給定點一個空間

V\otimes ...\otimes V\otimes V^{*}\otimes ...\otimes V^{*}

中的張量。

其中V是切空間而V^*是餘切空間，參看切叢和餘切叢。

記號

張量場的記號和張量空間的極相近，有時會混淆。所以，切叢TM=T（M）有時寫作

T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM

以強調切叢是流形M的（1,0）型張量場的空間。不要和看起來非常相近的記號

T_{0}^{1}(V)

搞混。在後一種情況，我們有一個張量空間，而在前一種情況我們有對流形每點有定義的張量空間。

手寫體字母有時用於表示光滑的張量場。所以

{\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)

是M上的無限可微分張量場的（m,n）型張量叢的截面集。一個張量場是該集的一個元素。

張量微積分

在理論物理和其他領域，用張量場表達的微分方程提供了表達本質上是幾何的（由張量的本質保證）並在傳統上和微積分相關的關係的一種極為通用的方式。表述這樣的方程需要一種新的概念，稱為協變導數。這個概念用於表述張量場沿着一個向量場的變化。最初的絕對微積分後來被稱為張量微積分，導致了聯絡這個幾何概念被分離出來。

通過一個線叢的扭轉

張量場的一個推廣是加入一個額外的M上的線叢L。若W是V和L的張量積叢，則W是一個同樣維度的向量空間叢。這使得我們能夠定義張量密度，一個'扭轉'類型的張量場。張量密度是當L是「流形的密度」叢（也就是餘切叢的行列式叢）時的特殊情況（嚴格來講，需要使用轉移函數的絕對值—這對可定向流形來說沒有什麼區別）。

密度叢L的一個特點（再次假設可定向）是，L^s對於一個實數s是可以定義的；這可以從取嚴格正值的變換函數得到。這意味着，例如，我們可以取「半密度」，當s = ½。一般來講，我們可以取W的截面，V和L^s的張量積，並考慮比重s的張量密度場（tensor density fields）。

半密度用於在流形上定義積分算子和幾何量子化（geometric quantization）這樣的領域。

平坦的情況

當M是一個歐幾里得空間是，而所有的場都在用M的向量平移下不變時，我們回到了張量場和位於原點的一個張量同義的情況。這沒有什麼害處，還經常在應用中採用。用在張量密度上，這確實有區別。密度叢不能嚴格的定義在一點；所以現在張量的數學處理的一個局限就是張量密度要用一種迂迴的方式來定義。

閉上鏈和鏈式法則

作為張量概念的高級解釋，可以把鏈式法則在多變量的情況進行解釋，作為在坐標變換時的應用，也作為張量場中的張量本身的一致性的要求。

抽象的講，我們可以把鏈式法則作為一個1-閉上鏈。這給了用內在的方式定義切叢所需要的一致性。其他張量的向量叢有相應的閉上鏈，可以從把張量構造的泛函屬性用到鏈式法則本身得到；這就是為什麼它們也是內在的概念。

通常所說的處理張量的經典方法試圖對此反向解讀—所以是一種啟發式的，後驗（post hoc）的方法而非真正基本的方法。隱含的定義張量如何在坐標變換下變化是閉上鏈所表達的那種自洽。張量密度的構造是一個閉上鏈級別上的扭轉。幾何學家從不懷疑張量「量」的幾何本質；這種下降論證抽象的證明了整個理論的正確性。

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